纸浆线性优化，目标函数为矩阵乘法

Question

我有一个目标函数，它使用变量协方差矩阵和加权向量找到标准差。

In [388]: equal_weights
Out[388]: 
array([ 3.57142857,  3.57142857,  3.57142857,  3.57142857,  3.57142857,
    3.57142857,  3.57142857,  3.57142857,  3.57142857,  3.57142857,
    3.57142857,  3.57142857,  3.57142857,  3.57142857,  3.57142857,
    3.57142857,  3.57142857,  3.57142857,  3.57142857,  3.57142857,
    3.57142857,  3.57142857,  3.57142857,  3.57142857,  3.57142857,
    3.57142857,  3.57142857,  3.57142857])

我有形状为 28,28 的 var-cov 矩阵

var_cov_matrix
Out[389]: 
array([[  6.71849405e-04,   1.07026673e-04,   6.79182814e-04,
      5.92496081e-04,   6.76905450e-04,   5.68079259e-04,
      2.22977933e-04,   6.27305383e-04,   1.93215258e-04,
      7.58978339e-04,   6.04280523e-04,   6.76028095e-04,
      5.56815379e-04,   7.24121343e-04,   1.29104023e-04,
      5.65809917e-04,   2.21988437e-04,   7.96973235e-05,
      6.22684153e-04,   7.24716154e-04,   7.34006960e-04,
      8.06120887e-04,   7.00056878e-04,   6.61041132e-04,
      1.43439814e-04,   2.27692364e-04,   4.44174103e-04,
      4.52772521e-04],
   [  1.07026673e-04,......]]

我必须通过运行纸浆优化器来找到优化的重量。目标函数是，

math.sqrt((eq_wt_vector.transpose() @ var_cov_matrix) @ eq_wt_vector)

目标是使用约束最小化上述函数生成的值，

sum(equal_weights) - 1 == 0

我通过了很多例子，线性方程的解决方案可用。此特定问题的解决方案将不胜感激。谢谢。

Answer 1

感谢@Rodrigo德·阿泽维多的提示。是的，我能够使用 cvxpy 包解决问题。使用 cvxpy 库有多种条件，如下所示：

1. 最小化或最大化的目标函数应遵循纪律凸规划 (DCP( 查看此处
2. 如果问题是最大化还是最小化问题，则应小心。我有一个sqrt((方法来找到标准偏差，它不是DCP，并且使我的问题成为最大化问题。

解决方案如下，

目标功能：

(eq_wt_vector.transpose() @ var_cov_matrix) @ eq_wt_vector

在 DCP 中表示为

Minimize(quad_form(a, b))

其中四边形 (a，b( = a.T * b * a

溶液：

from cvxpy import Variable,Problem,Minimize,sum_entries,quad_form
a = Variable(var_cov_matrix.shape[0]) #vector of column length = matrix length
b = np.matrix(var_cov_matrix)
objective = Minimize(quad_form(a, b))
constraints = [sum_entries(a) == 100,  0<=a, a<=100] #constraints for vector - sum of elements = 100, lies between 0,100
prob = Problem(objective, constraints)
optimized_deviation = prob.solve()