具有(M，N)右手矩阵的稀疏线性方程组的迭代求解

Question

我想求解一个稀疏线性方程组：ax=b，其中a是（MxM）数组，b为（MxN）数组，且x和（Mxn）数组。

我使用以下三种方法来解决此问题：

• CCD_ 1
• CCD_ 2
• scipy.sparse.linalg.splu(A).solve(b.toarray())#返回密集数组

我希望使用迭代scipy.sparse.linalg方法来解决问题：

• CCD_ 5
• CCD_ 6

然而，这些方法只支持形状为（M，）或（M，1）的右手边b。关于如何将这些方法扩展到（M x N）数组b，有什么想法吗？

Answer 1

迭代求解器和直接求解器之间的一个关键区别是，直接求解器可以通过使用因子分解（通常是Cholesky或LU）更有效地求解多个右侧值，而迭代求解器则不能。这意味着，对于直接求解器来说，同时求解多列具有计算优势。

另一方面，对于迭代求解器，在同时求解多个列时没有计算增益，这可能是cg、bicg等的API中不支持矩阵解的原因

因此，像scipy.sparse.linalg.spsolve这样的直接解决方案可能是您的最佳方案。如果出于某种原因，你仍然想要一个迭代的解决方案，我只需要创建一个简单的方便函数，如下所示：

from scipy.sparse.linalg import bicg
def bicg_solve(M, B):
    X, info = zip(*(bicg(M, b) for b in B.T))
    return np.transpose(X), info

然后您可以创建一些数据，并按如下方式调用它：

import numpy as np
from scipy.sparse import csc_matrix
# create some matrices
M = csc_matrix(np.random.rand(5, 5))
B = np.random.rand(5, 4)
X, info = bicg_solve(M, B)
print(X.shape)
# (5, 4)

任何接受右手边矩阵的迭代求解器API本质上只是类似的包装器。