我希望用户能够将链接拖放到omnibox旁边的扩展图标上，并在链接中读取我的扩展。有API来做这个吗?
不存在这样的API。
如果你想有一个拖放目标，那么我建议在当前页面中插入自定义HTML，以响应使用chrome.tabs.executeScript的chrome.browserAction.onClicked事件。