为什么特征向量和相应特征值的乘积不等于原始矩阵和特征向量的乘积

Question

当我将特征向量乘以矩阵时，它应该会产生与将该特征向量乘以其相应特征值相同的输出。我试图验证我的特征向量和特征值是否像广告中所说的那样工作，但输出似乎不正确。

cov_matrix = np.cov(scaled_data)
eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eigh(cov_matrix)
a = cov_matrix.dot(eig_vecs[:, 0])
b = eig_vecs[:, 0] * eig_vals[0]

当我打印a和b时，它们是相同的形状，但它们的值都不同。这里出了什么问题？

Answer 1

尝试以下操作：

import numpy as np
np.random.seed(42) # for reproducibility
A = np.random.random((10,10)) + np.random.random((10,10)) * 1j
eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eigh(A)
np.allclose(A @ eig_vecs[:, 0], eig_vals[0] * eig_vecs[:, 0])
>>> False

请记住，np.linal.eigh返回复埃尔米特(共轭对称(或实对称矩阵的特征值和特征向量。对于hermitian矩阵：

A = (A + A.T.conj())/2  # Here A is forced Hermitian now
eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eigh(A)
print(np.allclose(A @ eig_vecs[:, 0], eig_vals[0] * eig_vecs[:, 0]))
>>> True

在对角化之前检查cov_matrix是否与类似np.allclose(cov_matrix, cov_matrix.T.conj())的东西对称。如果没有，您可以直接使用np.linal.eig.