有没有一种有效的方法来生成对称随机矩阵

Question

有没有一种有效的方法(使用 numpy(来生成一个对称的随机矩阵，其条目均匀分布在 [0,1(中？

Answer 1

设 U 是均匀分布的随机数的方阵。然后，您可以将 U 的下三角形部分与自身转置(仅包括一次对角线(相加，以获得一个对称矩阵，其中包含来自与 U 相同分布的随机数。

import numpy as np 
U = np.random.uniform(low=0, high=1.0, size=(1000, 1000))
S = np.tril(U) + np.tril(U, -1).T
print(np.histogram(S.flatten()))
print(np.histogram(S[0,:]))
print(np.histogram(S[:,0]))

矩阵作为一个整体以及任何行或列将由 np.random.uniform 的文档均匀分布在 [0,1( 中

速度方面我得到

%timeit U = np.random.uniform(low=0, high=1.0, size=(1000, 1000))
10.6 ms ± 46.5 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)
%timeit S = np.tril(U) + np.tril(U, -1).T
5.76 ms ± 75.2 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)

正如其他人所指出的，你也可以这样做

S = (U + U.T) / 2

以获得对称性，但这将为您提供非对角线中的三角形分布随机数，因为您正在对两个均匀的随机变量求和。

Answer 2

这是一个使用 scipy.spatial.distance.squareform 的方法：

squareform对称矩阵的完整形式和"压缩"形式之间来回切换：

>>> full = squareform(np.arange(1,11))
>>> full
array([[ 0,  1,  2,  3,  4],
       [ 1,  0,  5,  6,  7],
       [ 2,  5,  0,  8,  9],
       [ 3,  6,  8,  0, 10],
       [ 4,  7,  9, 10,  0]])
>>> squareform(full)
array([ 1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10])

由于它在设计时考虑了距离矩阵，因此将对角线保持在零，因此我们必须手动填充它。为此，我们使用einsum它使用我们的方式返回对角线的可写视图，

>>> from scipy.spatial.distance import squareform
>>> 
>>> N = 5
>>> a = squareform(np.random.random(N*(N-1)//2))
>>> np.einsum('ii->i', a)[:] = np.random.random(N)
>>> a
array([[0.29946651, 0.3636706 , 0.00708741, 0.87536594, 0.62197293],
       [0.3636706 , 0.31774527, 0.05597852, 0.10800514, 0.99871399],
       [0.00708741, 0.05597852, 0.83912235, 0.86241008, 0.01806965],
       [0.87536594, 0.10800514, 0.86241008, 0.11039534, 0.64213608],
       [0.62197293, 0.99871399, 0.01806965, 0.64213608, 0.84755054]])