sqrt 函数在 Python 中的奇怪行为

Question

在Python中，我编写了一个自定义代码sqrt（x，delta）来计算具有delta-close近似的给定数字的平方根。它使用 while 循环和类似二进制搜索的算法。
代码：

from __future__ import division
def sqrt(x, delta):
    start = 0
    end = x
    while (end-start) > delta:
        middle = (start + end) / 2
        middle_2 = middle * middle
        if middle_2 < x:
            start = middle
            print "too low"
        elif middle_2 > x:
            end = middle
            print "too high"
        else:
            return middle
    result = (start + end) / 2
    return result

它基本上可以工作并且非常快，但在某些情况下它会进入无限的while循环。
例子：

sqrt(1e27, 1/1024) => works fine (returns 'too low's and 'too high's, then returns correct result)
sqrt(1e28, 1/1024) => works fine
sqrt(1e29, 1/1024) => never-ending loop, it keeps printing 'too low' forever
sqrt(1e30, 1/1024) => works fine
sqrt(1e31, 1/1024) => 'too low' forever
sqrt(1e32, 1/1024) => works fine
sqrt(1e33, 1/1024) => works fine (also surprising after the problem with 1e29 and 1e31)
sqrt(1e34, 1/1024) => works fine
sqrt(1e35, 1/1024) => 'too low' forever
sqrt(1e36, 1/1024) => works fine
sqrt(1e37, 1/1024) => 'too high' forever (too high this time!)
sqrt(1e38, 1/1024) => works fine
sqrt(1e39, 1/1024) => works fine (surprising again..)
... 1e40-1e45 ... they all work fine
sqrt(1e46, 1/1024) => 'too low' forever (surprisingly it occurs now with 1e'even number')
...
sqrt(1e200, 1/1024) => works fine
sqrt(1e201, 1/1024) => works fine
...
sqrt(1e299, 1/1024) => 'too low' forever
sqrt(1e300, 1/1024) => 'too high' forever
...
sqrt(1e304, 1/1024) => 'too high' forever
sqrt(1e305, 1/1024) => works fine
... 305-308 ... they allwork fine
sqrt(1e309, 1/1024) => inf (reached some 'infinite' limit?)

我首先认为它是超过限制的数字，例如 1e20。但后来它也对他们起作用了。另外，我有一个想法，大约是 1e'odd' 或 1e'偶数'数字，但正如我们在示例中看到的那样，事实并非如此。我也尝试使用不同的 delta 而不是 1/1024，但它们表现出类似的行为。

我将不胜感激任何解释，以说明导致这种行为的幕后发生了什么。

Answer 1

float只能表示一组有限的数字。您的代码最终会出现start和end是两个连续的此类数字的情况。因此，(start + end) / 2必须向下舍入为 start或向上舍入为 end 。

如果四舍五入，middle_2 < x .现在，如果end - start > delta，你有一个"太低"的无限循环。

如果

它被四舍五入，如果end - start > delta，你就得到了一个"太高"的无限循环。

您可能应该将delta重新定义为相对误差而不是绝对误差。