求渐近上界和下界

Question

如果我们假设T(n)对于小n是常数，我们如何找到这个函数的解?

T(n) = T(n−2) + 2logn

到目前为止，我无法找到一种方法来表示整个函数。你能帮帮我吗?我真的很想了解。

Answer 1

假设n为偶数，且T(1) = T(0) = 0 .

T(n)/2 = log(n) + log(n-2) + ... + log(2)
       = log((n/2)! * 2^n)
       = n log(2) + log((n/2)!)
       = n log(2) + n log(n) - n + O(log(n)) (Stirling's approximation)

对于n偶，T(n) = Theta(n log(n))。

对于n奇数，您可以注意到T(n-1) < T(n) < T(n+1)，并得到相同的渐近界。