有人声称newtype T a = T (a -> Int)是一个不是函子的类型构造函数(但是一个逆变函子)。怎么会这样？或者什么是逆变函子(因此我认为为什么不能将其设为正常函子是显而易见的)？
给定
newtype T a = T (a -> Int)
让我们尝试为此数据类型构建Contravariant实例。
这是有问题的类型类：
class Contravariant f where
contramap :: (a -> b) -> f b -> f a
基本上，contramap类似于fmap，但不是将函数提升a -> bf a -> f b，而是将其提升到f b -> f a。
让我们开始编写实例...
instance Contravariant T where
contramap g (T f) = ?
在我们填写?之前，让我们考虑一下g和f的类型是什么：
g :: a -> b
f :: b -> Int
为了清楚起见，我们不妨提到
f a ~ T (a -> Int)
f b ~ T (b -> Int)
因此，我们可以按如下方式填写?：
instance Contravariant T where
contramap g (T f) = T (f . g)
为了超级迂腐，您可以将g重命名为aToB，f重命名为bToInt。
instance Contravariant T where
contramap aToB (T bToInt) = T (bToInt . aToB)
您可以为T a编写Contravariant实例的原因归结为这样一个事实，即a在T (a -> Int)中处于逆变位置。说服自己T a不是Functor的最好方法是尝试(并失败)自己编写Functor实例。
假设 T 是一个函子。然后我们有
fmap :: (a -> b) -> T a -> T b
现在，让我们尝试实现它。
instance Functor T where
fmap f (T g) = T $ x -> _y
显然，我们从这样的东西开始，并以某种方式组合f、g和x的值，以计算正确类型的y值。我们该怎么做呢？好吧，请注意，我称之为_y，它告诉GHC我需要一些帮助来弄清楚放什么。全康有什么要说的？
<interactive>:7:28: error:
• Found hole: _y :: Int
Or perhaps ‘_y’ is mis-spelled, or not in scope
• In the expression: _y
In the second argument of ‘($)’, namely ‘ x -> _y’
In the expression: T $ x -> _y
• Relevant bindings include
x :: b (bound at <interactive>:7:23)
g :: a -> Int (bound at <interactive>:7:13)
f :: a -> b (bound at <interactive>:7:8)
fmap :: (a -> b) -> T a -> T b (bound at <interactive>:7:3)
所以现在我们清楚了所有相关事物的类型，对吧？我们需要以某种方式返回一个Int，我们必须构建它是：
x :: b
g :: a -> Int
f :: a -> b
好吧，好吧，我们唯一可能创建Int的东西是g，所以让我们填写一下，将g的论点留空以寻求GHC的更多帮助：
instance Functor T where
fmap f (T g) = T $ x -> g _y
<interactive>:7:31: error:
• Found hole: _y :: a
Where: ‘a’ is a rigid type variable bound by
the type signature for:
fmap :: forall a b. (a -> b) -> T a -> T b
at <interactive>:7:3
Or perhaps ‘_y’ is mis-spelled, or not in scope
• In the first argument of ‘g’, namely ‘(_y)’
In the expression: g (_y)
In the second argument of ‘($)’, namely ‘ x -> g (_y)’
• Relevant bindings include
x :: b (bound at <interactive>:7:23)
g :: a -> Int (bound at <interactive>:7:13)
f :: a -> b (bound at <interactive>:7:8)
fmap :: (a -> b) -> T a -> T b (bound at <interactive>:7:3)
好吧，我们可以自己预测：要调用g，我们需要一个来自某处的a类型的值。但是我们在作用域中没有任何a类型的值，也没有任何返回a类型值的函数！我们陷入了困境：不可能产生我们现在想要的值，尽管在每一步我们都做了唯一可能的事情：没有什么可以备份和尝试不同的。
为什么会这样？因为如果我给你一个类型a -> Int的函数并说"但顺便说一下，这里有一个来自a -> b的函数，请给我一个来自b -> Int的函数"，你实际上不能从a -> b使用该函数，因为没有人给你任何a来调用它！如果我给你一个b -> a的功能，那会很有帮助，对吧？然后，你可以从b -> Int生成一个函数，首先调用b -> a函数来获取a，然后调用原始a -> Int函数来获取所需的Int。
这就是逆变函子的意义所在：我们反转传递给fmap的函数中的箭头，因此它可以映射你"需要"的东西(函数参数)而不是你"拥有"的东西(具体值，函数的返回值等)。
旁白：我之前声称我们在每一步都做了"唯一可能的事情"，这有点虚构。我们不能用f、g和x来构建一个Int，但我们当然可以凭空编造各种数字。我们对类型b一无所知，所以我们无法以某种方式获得从它派生的Int，但我们可以说"让我们总是返回零"，这在技术上满足类型检查器：
instance Functor T where
fmap f (T g) = T $ const 0
显然，这看起来很不对劲，因为它似乎f和g应该非常重要，而我们忽略了它们！但它是类型检查，所以我们没事，对吧？
不，这违反了函子定律之一：
fmap id = id
我们可以很容易地证明这一点：
fmap id (T $ const 5) = (T $ const 0) /= (T $ const 5)
现在我们真的尝试了一切：我们必须在不使用我们的b类型的情况下构建Int的唯一方法是无中生有，所有这些用途都将与使用const同构，这将违反函子定律。
这是另一个观点。正如利米纳利什特所表明的那样，TContravariant。关于协变和逆变的类型，我们能说些什么？
import Data.Void
change1, change1', change2 :: (Functor f, Contravariant f) => f a -> f b
change1 = contramap (const ()) . fmap (const ())
change1' = (() >$) . (() <$)
change2 = fmap absurd . contramap absurd
前两个实现基本上是相同的(change1'是change1的优化);它们中的每一个都使用()是Hask的"终端对象"的事实。 相反，change2使用了Void是"初始对象"的事实。
这些函数中的每一个都用b替换了f a中的所有a，而对a、b或它们之间的关系一无所知，而其他一切都保持不变。可能应该清楚的是，这意味着f a并不真正依赖于a。也就是说，f的参数必须是幻像。T不是这样，所以它不能也是协变的。