在给定五个现有向量的情况下，如何找到一个新的等距向量?

Question

我有向量v1，v2，v3，v4，v5,100 dim，我需要找到一个中心向量，每个向量的距离相等。

Uptdate：看看Mathmatics的这个答案，有没有办法在Numpy/Python中实现这个解决方案？

Answer 1

一切都取决于向量在Python中的呈现方式。

让 v1、v2、...、v5 显示为值列表。每个列表的 len = 100。

在这种情况下，我会执行以下操作：

np.vstack([v1, v2, v3, v4, v5]).mean(axis=1)

如果向量已经组成为 5x100 数组，例如arr，arr.shape=(5, 100)， 您可以按如下方式获得解决方案：

arr.mean(axis=1)

编辑：[问题已更改/澄清]

要获得等距向量 (x)，请查看我刚刚编写的以下代码片段：

import numpy as np
from scipy.optimize import least_squares
np.random.seed(10)
vector_as_rows = np.random.rand(5, 100)
def Q(x, vs=vector_as_rows):
d = x[-1]
result = list()
for v in vs:
result.append(np.linalg.norm(v-x[:-1])- d)
result.append(0)
return result
res = least_squares(Q, np.random.rand(101)).x
for v in vector_as_rows:
print("Dist between x and v[k]: ", np.linalg.norm(v - res[:-1]))

因此，res[:-1](len = 100) 与所有v[i]等距;res[-1]是距离值。

Dist between x and v[k]:  2.530871535402036
Dist between x and v[k]:  2.530871505069009
Dist between x and v[k]:  2.530871545163243
Dist between x and v[k]:  2.5308715299141045
Dist between x and v[k]:  2.5308715309178402

我怀疑这个问题有分析解决方案;我刚刚实现了 求解不确定线性系统的可能方法之一 您提供的链接。

A = (vector_as_rows[0] - vector_as_rows[1:]) * 2
res = np.dot(np.linalg.pinv(A), (vector_as_rows[0]**2 - vector_as_rows[1:]**2).sum(axis=1))
for v in vector_as_rows:
print("Dist between x and v[k]: ", np.linalg.norm(v - res))

结果是：

Dist between x and v[k]:  5.569005123058085
Dist between x and v[k]:  5.569005123058085
Dist between x and v[k]:  5.569005123058084
Dist between x and v[k]:  5.569005123058084
Dist between x and v[k]:  5.569005123058085

我用np.linalg.pinv，即摩尔-彭罗斯伪反演。使用它，我得到了一个用于不确定线性系统的最小长度解决方案。因此，获得的向量res在此问题的所有可能解决方案中具有最小的范数。