找到一个矩阵，当乘以常量或其他矩阵时，该矩阵会产生相同的结果

Question

我遇到了一个像A*x=lambda*x这样的问题，其中A是d*d阶的，x是d*c阶的，而lambda是一个常数。 A和lambda是已知的，矩阵x是未知的。有没有办法在 matlab 中解决这个问题？(类似于特征值，但x是d*c矩阵而不是向量(。

Answer 1

如果我理解正确，x不一定有任何解决方案. 如果A*x=lambda*x，则任何x的列y都满足A*y=lambda*y，所以x的列只是对应于特征值lambda的A的特征向量，并且只有当lambda实际上是特征值时才会有任何解。

从文档中：

[V，D] = eig(A( 生成特征值 (D( 和特征向量的矩阵 矩阵 A 的 (V(，因此 A*V = V*D.矩阵 D 是 的规范形式 A — 主对角线上有 A 的特征值的对角矩阵。 矩阵 V 是模态矩阵 — 它的列是 A 的特征向量。

您可以使用它来检查lambda是否为特征值，并找到任何相应的特征向量。

Answer 2

你可以转换这个问题。使用 x(:) 将 x 写为向量(尺寸为 D*C x 1(。 然后 A 可以重写为 d*c x d*c 矩阵，该矩阵沿对角线具有 A 的 c 版本。

现在这是一个简单的特征值问题。

Answer 3

它实际上是微不足道的。您的要求是 A*X = lambda*X，其中 X 是一个数组。实际上，看看 X 的单列会发生什么。如果数组 X 存在，则

A*X(：，i( = lambda*X(：，i(

对于 X 的所有列的 lambda

的相同值，这必须是正确的.本质上，这意味着 X(：，i( 是 A 的特征向量，具有相应的特征值 lambda。更重要的是，这意味着 X 的每一列都具有与其他每列相同的特征值。

因此，这个问题的一个简单解决方案是简单地拥有一个具有相同列的矩阵 X，只要该列是 A 的特征向量。如果特征值的多重性大于 1(因此存在多个具有相同特征值的特征向量(，则 X 的列可以是这些特征向量的任意线性组合。

在实践中尝试一下。我将选择一些简单的矩阵 A。

>> A = [2 3;3 2];
>> [V,D] = eig(A)
V =
     -0.70711      0.70711
      0.70711      0.70711
D =
           -1            0
            0            5

V 的第二列是特征向量，特征值为 5。我们可以按任何常数任意缩放特征向量。所以现在选择向量 vec，并创建一个包含复制列的矩阵。

>> vec = [1;1];
>> A*[vec,vec,vec]
ans =
     5     5     5
     5     5     5

这应该不会让任何人感到惊讶。