确定 3D 内核的可分离性(1D 内核能否获得 3D 卷积的结果?

Question

我有三个大小2×2×2的内核（如下ker1、ker2、ker3 定义）。我想知道如何确定这些内核是否可分离（出于3D卷积目的）。我在网上阅读了如何在MATLAB中为2D内核完成此操作。但是3D阵的等级！嗯，我不认为有这样的事情。也许其他方法？

主要问题是：1D内核能否获得 3D 卷积的结果（不使用 FFT）？

MATLAB命令convn对于计算 3D 数组的卷积非常快。但是，我正在编写一个独立于MATLAB的独立C++应用程序，并且无法在我的代码中使用convn。如果可以确定上述内核的可分离性，它将极大地帮助我在代码中使用卷积1D，这也很容易实现。

我很感激社区中的朋友对此事的想法。

>> % I am investigating this in MATLAB
ker1(:,:,1) =
    -1     1
    -1     1
ker1(:,:,2) =
    -1     1
    -1     1
>> 
ker2(:,:,1) =
    -1    -1
    -1    -1
ker2(:,:,2) =
     1     1
     1     1
>> 
ker3(:,:,1) =
    -1    -1
     1     1
ker3(:,:,2) =
    -1    -1
     1     1
>> my3Darray = ones( 200,200,200 );
>> res1 = convn( my3Darray, ker1 );
>> res2 = convn( my3Darray, ker2 );
>> res3 = convn( my3Darray, ker3 );

Answer 1

是的，所有这三个张量都可以写成三个向量的外积* a*b*c。

1. ker1 = [ 1,1] * [-1,1] * [ 1,1]
2. ker2 = [ 1,1] * [ 1,1] * [-1,1]
3. ker3 = [-1,1] * [ 1,1] * [ 1,1]

（这当然不是 Matlab 语法。您可以将第一个向量视为列向量，第二个向量视为行向量，第三个向量视为"top"向量。