功率迭代在随机 SVD 中如何工作?

Question

我正在研究随机SVD并阅读一些文章，例如 https://gregorygundersen.com/blog/2019/01/17/randomized-svd/

https://research.fb.com/blog/2014/09/fast-randomized-svd/

但是，我有一些问题。

1. 在幂迭代方程中，我不明白为什么作为 X 的 QR 分解输出的 Q 与 (XX^T(^qX 的 QR 分解输出的 Q 相同。是什么让它变得相同？

====

===============答1(我刚刚发现 X 的 Q 不等于 (XX^T(^qX 的 Q

2. 它将欧米茄矩阵(这是随机矩阵(乘以 X 以缩小矩阵 X 以节省获得 Q 的时间。但是我怎么能保证这个Q具有几乎相同的X范围呢？是因为X倍欧米茄几乎捕捉到X的作用吗？X 的作用和 X 的范围之间有什么关系？

对不起，我缺乏数学技能。非常感谢:)

Answer 1

好的，我从堆栈交换数学中得到了答案。 1.起初，范围(X(等于范围(XXTX(。因此，幂迭代不会影响范围 (X(。通过幂迭代，我们可以提取与主奇异值相关的信息，而不是朴素版本。 2. Omega矩阵是随机采样的，因此投影捕捉到矩阵X的主导作用。所以它可以看作是矩阵的范围。