我必须执行一个ODE系统的数值求解，它具有以下形式:
du_j/dt = f_1(u_j, v_j, t) + g_1(t)v_(j-1) + h_1(t)v_(j+1),
dv_j/dt = f_2(u_j, v_j, t) + g_2(t)u_(j-1) + h_2(t)u_(j+1),
，其中u_j(t)和v_j(t)是时间的复值标量函数，t、f_i和g_i是给定函数，j = -N,..N。这是一个初值问题，任务是找到某一时刻的解T .
若g_i(t) = h_i(t) = 0，则不同j值时的方程可以独立求解。在这种情况下，我借助四阶龙格-库塔方法得到了稳定准确的解。然而，一旦我打开耦合，结果就变得非常不稳定，相对于时间网格步长和函数g_i, h_i的显式形式。
我想尝试使用隐式龙格-库塔方案是合理的，在这种情况下它可能是稳定的，但如果我这样做，我将不得不评估大小为4*N*c的巨大矩阵的逆，其中c取决于方法的顺序(例如高斯-勒让德方法的c = 3)在每一步。当然，该矩阵将主要包含零并具有块三对角线形式，但它似乎仍然非常耗时。
我有两个问题:
是否存在稳定的显式方法，即使耦合函数
g_i和h_i(非常)大也能工作?如果隐式方法确实是一个很好的解决方案，那么块三对角矩阵的最快反演方法是什么?目前，我只是执行一个简单的高斯方法，以避免由于矩阵的特定结构而产生的冗余操作。
可能对我们有帮助的其他信息和细节:
我目前考虑
g_1(t) = h_1(t) = g_2(t) = h_2(t) = -iAF(t)sin(omega*t)，其中i是虚单位，A和omega是给定常数，F(t)是一个缓慢的平滑包络，首先从0到1，然后从1到0，所以F(0) = F(T) = 0.最初
u_j = v_j = 0除非j = 0。j绝对值较大的u_j和v_j函数对于所有t来说都很小，因此初始峰值没有达到"边界"。
To 1)如果您的函数非常大，将没有稳定的显式方法。这是由于显式(龙格-库塔)方法的稳定区域是紧凑的。
To 2)如果你的矩阵大于100x100，你可以使用这个方法:块三对角矩阵的逆和舍入误差。