因此，作为任务的一部分，我必须证明任何具有两个属性的关系都在BCNF中。
根据我的理解，如果一个关系具有第三范式，并且一个非键属性在功能上决定了键属性，那么它就违反了BCNF。
假设我的关系由两个属性A1、A2 组成
场景1（只有一个功能依赖项）
A1 -> A2 (so A1 is the key, and A2 does not FD A1 : so no violation)
也是如此
A2 -> A1
但是如果
A1->A2 and A2->A1
这里的键可以是A1或A2。而另一个非关键属性在功能上决定了关键。
在每个函数依赖项中，X -> Y、X和Y是属性集。当X或Y是空集1时，这需要特别注意。因此，在只有两个属性A1和A2的示例中，我们有所有可能的非平凡依赖项：
1. {} -> {A1}
2. {} -> {A2}
3. {} -> {A1 A2}
4. {A1} -> {A2}
5. {A2} -> {A1}
所有其他可能的依赖关系都是平凡依赖关系，即右集是左集的子集（例如{A1} -> {}、{} -> {}、{A1} -> {A1}、{A1 A2} -> {A1}等）。我们知道这些依赖关系总是成立的，所以在正规形式的定义中不考虑它们。
1.当从依赖关系中排除空集时，定理成立
考虑依赖项4和5。我们有四种可能的情况：
1. Only 4 holds, so we have: {A1} -> {A2}
这意味着{A1}是候选密钥（因为从{A1} -> {A2}我们可以导出{A1}->{A1 A2}），并且满足BCNF条件，因为每个依赖项都有一个超级密钥作为行列式；
2. Only 5 holds, so we have: {A2} -> {A1}
与之前的情况相同，仅交换A1和A2的角色；
3. Neither 4 nor 5 hold (no functional dependencies),
因此形式上满足BCNF（因为没有依赖关系违反BCNF）；最后：
4. both hold, so we have {A1} -> {A2} and {A2} -> {A1}
在这种情况下，关系也在BCNF中，因为{A1}和{A2}都是候选密钥，因为它们确定了所有属性（简单地将上面的1和2放在一起）。
2.当我们允许函数依赖中的空集时，该定理不成立
考虑一个关系式R(A1, A2)，带有依赖的覆盖F
F = { {}-> {A1} }
通过回顾函数依赖的定义，{} -> {A1}的含义是列A1具有常数值。所以我们有两列的关系，其中一列的值总是相同的。在这种情况下，唯一的候选密钥是{A2}，因为{A2}+ = {A1 A2}，而{A1 A2}是超级密钥，并且该关系不在BCNF中，因为非平凡函数依赖性（{} -> {A1}）具有不是超级密钥的行列式。
1注意，在有关该主题的科学文献中（以及在数据库书籍中），函数依赖中空集的可能性有时被明确排除（例如，参见：Tsou，Don Min和Patrick C.Fischer。"将关系方案分解为Boyce Codd范式"。ACM SIGACT新闻14，第3期（1982年7月1日）：23-29。https://doi.org/10.1145/990511.990513)，而有时它是允许的，或者不讨论。
For any relation to be in BCNF, the following must holds.
X → Y is a trivial functional dependency (Y ⊆ X).
X is a superkey for schema R
此处的维基百科链接
For Example, there is a relation R = {A,B} with two attributes.
The only possible (non-trivial) FD's are {A}->{B} and {B}->{A}.
So, there are four possible cases:
1. No FD's holds in R. {C.K = AB}, Since it is an all key relation it's always in BCNF.
2. Only A->B holds. In this case {C.K = A} and relation satisfies BCNF.
3. Only B->A holds. In this case {C.K = B} and relation satisfies BCNF.
4. Both A->B and B->A holds. In this case there are two keys {CK = A and B} and
relation satisfies BCNF.
Hence, every Binary Relation (A relation with two attributes) is always in BCNF!
要证明具有两个属性的任何关系都在BCNF中。Boyce-Codd范式规则：
如果R处于第三范式，则关系R处于BCNF中，并且对于每个FD，LHS都是超级密钥
所以如果A1和A2是唯一的属性：A1->A2和A2->A1作为函数依赖项，那么在这两个函数依赖项中，左边是一个超级键。满足BCNF的条件。