使用 python 线性拟合中的误差传播

Question

假设我对一些因变量y相对于某个自变量x进行了多次测量。我还记录了每个测量dy中的不确定度。例如，这可能看起来像

import numpy as np
x = np.array([1, 2, 3, 4])
y = np.array([4.1, 5.8, 8.1, 9.7])
dy = np.array([0.2, 0.3, 0.2, 0.4]) 

现在假设我希望测量值服从线性关系y = mx + b并且我想确定某些未测量的 x 值x_unm的 y 值y_umn。如果我不考虑错误，我可以很容易地在 Python 中执行线性拟合：

fit_params, residuals, rank, s_values, rcond = np.polyfit(x, y, 1, full=True)
poly_func = np.poly1d(fit_params)
x_unm   # The unmeasured x value
y_unm = poly_func(x_unm)  # The unmeasured x value

我对这种方法有两个问题。首先，np.polyfit没有在每个点上都包含错误。其次，我不知道y_unm的不确定性是什么。

有谁知道如何使数据具有不确定性，从而允许我确定y_unm不确定性？

Answer 1

这是一个可以通过分析来完成的问题，但这可能更适合作为数学/统计讨论。例如，请参阅(在许多来源中(：

https://www.che.udel.edu/pdf/FittingData.pdf

拟合中的误差可以通过分析计算。但重要的是要注意，在考虑测量误差时，拟合本身是不同的。

在python中，我不确定是否有处理错误的内置函数，但这里有一个使用scipy.optimize.fmin进行卡方最小化的示例

#Calculate Chi^2 function to minimize
def chi_2(params,x,y,sigy):
m,c=params
return sum(((y-m*x-c)/sigy)**2)
data_in=(x,y,dy)
params0=[1,0]
q=fmin(chi_2,params0,args=data_in)

为了进行比较，我使用了这个，您的polyfit解决方案和分析解决方案，并为您提供的数据绘制了图。

给定技术参数的结果：

加权卡方与 fmin： m=1.94609996 b=2.1312239

分析的： 手机 手机 = 1.94609929078014 b=2.1312056737588647

宝丽飞度： m=1.91 b=2.15

给定数据的线性拟合

以下是完整的代码：

import numpy as np
from scipy.optimize import fmin
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.array([1, 2, 3, 4])
y = np.array([4.1, 5.8, 8.1, 9.7])
dy = np.array([0.2, 0.3, 0.2, 0.4]) 
#Calculate Chi^2 function to minimize
def chi_2(params,x,y,sigy):
m,c=params
return sum(((y-m*x-c)/sigy)**2)
data_in=(x,y,dy)
params0=[1,0]
q=fmin(chi_2,params0,args=data_in)
#Unweighted fit to compare
a=np.polyfit(x,y,deg=1)
#Analytic solution
sx=sum(x/dy**2)
sx2=sum(x**2/dy**2)
s1=sum(1./dy**2)
sy=sum(y/dy**2)
sxy=sum(x*y/dy**2)
ma=(s1*sxy-sx*sy)/(s1*sx2-sx**2)
ba=(sx2*sy-sx*sxy)/(sx2*s1-sx**2)
xplt=np.linspace(0,5,100)
yplt1=xplt*q[0]+q[1]

yplt2=xplt*a[0]+a[1]
yplt3=xplt*ma+ba
plt.figure()
plt.plot(xplt,yplt1,label='Error Weighted',color='black')
plt.plot(xplt,yplt2,label='Non-Error Weighted',color='blue')
plt.plot(xplt,yplt3,label='Error Weighted Analytic',linestyle='--',color='red')
plt.errorbar(x,y,yerr=dy,fmt='ko')
plt.legend()
plt.show()