Haskell元组函数组合

Question

我已经开始使用Richard Bird的Haskell从《FP导论》学习Haskell，但我一直在证明以下内容：

pair (f, g) . h = pair (f . h, g . h)

配对的定义如下：

pair :: (a -> b, a -> c) -> a -> (b, c)
pair (f, g) x = (f x, g x)

有人能给我指正确的方向吗？请记住，我才刚刚开始。提前感谢！

Answer 1

一种方法是扩展所有定义。请记住，f . g = x -> f (g x)和f a b = ...与f a = b -> ...相同。

因此，您可以尝试在pair (f, g) . h = pair (f . h, g . h) 中扩展pair和.的定义

Answer 2

您可以使用扩展性，即，如果两个函数在对任何x执行操作时给出相同的结果，则它们被认为是相同的（作为纯函数，它们可能具有不同的代码，因此使用不同的时间/空间）。

因此，在这种情况下，你可以采用你试图证明的等式，对适当类型的x的每一方采取行动，并表明你在两种情况下都获得了相同的结果。

Answer 3

小心，剧透！我将在下面解释完整的证明，如果你想自己尝试，请遵循@nponeccop的建议，并尝试扩展你的函数调用；）

证明

知道：

f . g = x -> f (g x)
pair :: (a -> b, a -> c) -> a -> (b, c)
pair (f, g) x = (f x, g x)

并且中缀组合运算符.的优先级低于函数应用程序的优先级，您可以计算出以下内容：

  pair (f, g) . h
= (pair (f, g)) . h            -- explicit precedence
= x -> (pair (f, g)) (h x)    -- expanding the composition operator
= x -> (f (h x), g (h x))     -- expanding 'pair'
= x -> ((f . h) x, (g . h) x) -- using the composition operator
= x -> pair (f . h, g . h) x  -- back to 'pair'
= pair (f . h, g . h)

Q.E.D.如果我没有发出嘘声。。。希望这能有所帮助！