Coq - 重写中的依赖类型错误

Question

我正在使用数学组件库，我正在尝试证明这一点：

Lemma card_sub_ord (k : nat) (P : nat -> bool) :
  #|[set i : 'I_k | P i]| <= k.
Proof.
  set S := [set i : 'I_k | P i].
  have H1 : S subset 'I_k.
    by apply: subset_predT.
  have H2 : #|S| <= #|'I_k|.
    by apply: subset_leq_card.
  have H3 : k = #|'I_k|.
    by rewrite card_ord.
  (* Only goal left: #|S| <= k *)
  rewrite H3 (* <--- this fails *)
Admitted.

上次重写失败，并显示错误消息：

错误

：重写(fun _pattern_value_ : nat => is_true (#|S| <= _pattern_value_)时依赖类型错误

知道重写失败的原因或对此错误消息的解释吗？

Answer 1

重写失败的原因是k在S中显示为隐藏参数，因此通过重写所有出现，您使目标键入错误。您可以使用 Set Printing All 进行检查。

by rewrite {5}H3.

将关闭您的目标。请注意，在 mathcomp 中不鼓励以H1...Hn风格命名目标。您的缩进也不遵循数学运算样式，您可能希望使用exact:代替by apply:。

您的证明也可以通过使用max_card来缩短：

by rewrite -{8}(card_ord k) max_card.

或

by rewrite -[k in _ <= k]card_ord max_card.

您也可以更喜欢使用更通用的不需要指定索引：

suff: #|[set i : 'I_k | P i]| <= #|'I_k| by rewrite card_ord.
exact: max_card.

避免索引修补的另一种方法是依赖传递性：

by rewrite (leq_trans (max_card _)) ?card_ord.

扬子晚报.