快速有效地计算已知特征值的特征向量

Question

我的问题的简短版本：

如果我们已经知道属于特征向量的特征值，那么计算矩阵A的特征向量的最佳方法是什么？

更长的解释：

我有一个大的随机矩阵A，因为它是随机的，所以它有一个非负的左特征向量x（这样A^Tx=x）。

我正在寻找快速有效的方法来数值计算这个向量。（最好是在MATLAB或numpy/scipy中，因为这两种都是围绕ARPACK/LAPACK的，所以任何一种都可以）。

我知道1是A的最大特征值，所以我知道调用这样的Python代码：

from scipy.sparse.linalg import eigs
vals, vecs = eigs(A, k=1)

将导致CCD_ 7和CCD_。

然而，这里困扰我的是，计算特征值通常比求解线性系统更困难，而且，通常，如果矩阵M具有特征值l，那么找到合适的特征向量就是求解方程(M - 1 * I) * x = 0的问题，至少在理论上，这是一种比计算特征值更简单的操作，因为我们只求解线性系统，更具体地说，求矩阵的零空间。

然而，我发现MATLAB中的所有空空间计算方法都依赖于svd计算，这是我无法对我这样大小的矩阵执行的过程。我也不能调用线性方程的解算器，因为它们都只找到一个解，而这个解就是0（是的，这是一个解决方案，但不是我需要的解决方案）。

有没有什么方法可以避免调用类似eigs的函数来比计算最大特征值和伴随的特征向量更快地解决我的问题？

Answer 1

这里有一种使用Matlab:的方法

1. 设x表示与特征值1相关的（行）左^†特征向量。它满足线性方程组（或矩阵方程）xA=x，或x-（A−I）=0
2. 为了避免该方程组的全零解，删除第一个方程，并在其余方程中任意将x的第一个条目设置为1
3. 求解其余方程（x₁=1）以获得x的其他条目

使用Matlab:的示例

>> A = [.6 .1 .3
        .2 .7 .1
        .5 .1 .4]; %// example stochastic matrix
>> x = [1, -A(1, 2:end)/(A(2:end, 2:end)-eye(size(A,1)-1))]
x =
   1.000000000000000   0.529411764705882   0.588235294117647
>> x*A %// check
ans =
   1.000000000000000   0.529411764705882   0.588235294117647

注意，代码-A(1, 2:end)/(A(2:end, 2:end)-eye(size(A,1)-1))是步骤3。

在您的公式中，您将x定义为a^T的（列）右特征向量（使得a^Tx=x）。这只是上面代码中的x.'：

>> x = x.'
x =
   1.000000000000000
   0.529411764705882
   0.588235294117647
>> A.'*x %// check
ans =
   1.000000000000000
   0.529411764705882
   0.588235294117647

当然，您可以规范化特征向量以求和1:

>> x = x/sum(x)
x =
   0.472222222222222
   0.250000000000000
   0.277777777777778
>> A.'*x %'// check
ans =
   0.472222222222222
   0.250000000000000
   0.277777777777778

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^{†遵循通常的惯例。等价地，这对应于转置矩阵的右特征向量}