正态分布最佳方法

Question

我正试图构建一个简单的程序，使用black-scholes公式对看涨期权进行定价http://en.wikipedia.org/wiki/Black%E2%80%93Scholes.我正试图找出从正态分布中得到概率的最佳方法。例如，如果我用手做这件事，我得到的值为d1=0.43，那么我会在这个表中查找0.43http://www.math.unb.ca/~knight/putility/NormTble.htm，并获得值0.6664。

我相信c或objective-c中没有函数可以找到正态分布。我也在考虑创建一个二维数组，然后循环直到找到所需的值。或者，我可以用相应的值定义300个double，并循环使用这些值，直到得到合适的结果。对最佳方法有什么想法吗？

Answer 1

您需要更清楚地定义您要查找的内容。根据你发布的内容，你似乎在寻找累积分布函数或P（d<d1），其中d1是以标准偏差测量的，d是正态分布：根据你的例子，如果d1=0.43，那么P（d<d1）=0.6664。

你想要的函数被称为误差函数erf(x)，有一些很好的近似值

显然，erf(x)是C中标准math.h的一部分（不确定objective-C，但我认为它可能也包含它）。

但是erf(x)并不是您所需要的功能。一般形式P（d<d1）可以由erf(x)通过以下公式计算：

P(d<d1) = f(d1,sigma) = (erf(x/sigma/sqrt(2))+1)/2

其中西格玛是标准偏差。（在您的情况下，您可以使用西格玛=1。）

您可以在WolframAlpha上测试这一点，例如：f（0.43,1）=（erf（0.43/sqrt（2））+1）/2=0.666402，这与您的表相匹配。

还有两件事很重要：

1. 如果你正在寻找p（d<d1），其中d1很大（绝对值大于大约3.0*sigma），那么你真的应该使用互补误差函数erfc(x) = 1-erf(x)，它告诉你p（d<d1）与0或1有多接近，而不会遇到数值误差。对于d1&lt-3*sigma，P（d<d1）=（erf（d1/sigma/sqrt（2））+1）/2=erfc（-d1/sigma/sqrt（2）；而是将其保留为1-K，其中K＝erfc（d1/sigma/sqrt（2））/2。例如，如果d1＝5*sigma，则P（d<d1）＝1-2.866516*10^-7

2. 例如，如果您的编程环境没有在可用的库中内置erf(x)，则需要一个良好的近似值。（我以为我有一个很容易使用的，但我找不到它，我认为它实际上是用于逆误差函数的）。我发现了W.J.Cody 1969年的这篇文章，它给出了erf（x）的一个很好的近似，如果|x|<0.5，并且当|x|>0.5时，最好使用erf（x）=1-erfc（x）。例如，假设您想要erf（0.2）&大约；来自Wolfram Alpha的0.2227025892105；Cody说用x*R（x²）求值，其中R是一个有理函数，你可以从他的表中得到。

如果我在Javascript中尝试这个（Cody论文表II中的系数）：

 // use only for |x| <= 0.5
 function erf1(x)
 {
    var y = x*x;
    return x*(3.6767877 - 9.7970565e-2*y)/(3.2584593 + y);
 }

然后我得到erf1(0.2) = 0.22270208866303123，它非常接近，对于一阶有理函数。Cody给出了4次有理函数的系数表；这是学位2:

 // use only for |x| <= 0.5
 function erf2(x)
 {
    var y = x*x;
    return x*(21.3853322378 + 1.72227577039*y + 0.316652890658*y*y)
      / (18.9522572415 + 7.8437457083*y + y*y);
 }

它给出了精确到小数点后10位的CCD_ 9。Cody论文还为您提供了类似的erfc（x）公式，其中|x|在0.5和4.0之间，以及第三个erfc（x）公式，这里|x|>4.0，如果您愿意，您可以使用Wolfram-Alpha或已知的erfc表检查结果的准确性。

希望这能有所帮助！