复发关系:迭代解决

Question

有一个复发关系如下：

T(n) = 2 T(n-1) + O(1) for n > 1 
otherwise, its T(n) = O(1)

通过迭代，到目前为止，我都喜欢，

T(n) = 2(2T(n-2) + 1) + 1 --- 1
T(n) = 2(2(2T(n-3) + 1) + 1) + 1 ---- 2
T(n) = 2(2(2(2T(n-4) + 1) + 1) + 1) + 1 ------3
T(n) = 2(2(2(2(2T(n-5) + 1) + 1) + 1) + 1) +1 ----- 4

我不确定接下来要做什么以找到上限时间复杂性。任何人都可以帮我吗？

Answer 1

看步骤4

T(n) = 2(2(2(2(2T(n-5) + 1) + 1) + 1) + 1) +1 ----- 4
T(n) = 2(2(2(2(2T(n-5))))) + 16 + 8 + 4 + 2 +1 = 
T(n) = 2^4* 2T(n-5) + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 =
T(n) = 2^4* 2T(n-5) + 2^5 -1 =

同样，如果您这样做并再增加一次，则可以：

T(n) = 2^5 *2T(n-6) + 2^5 + 2^5-1
T(n) = 2^5 * 2T(n-6) + 2^6-1

到目前

T(n) = .... = 2^(n) -1 

请注意，此方法仅给出解决问题的直觉，这不是证据。

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正式证明您可以使用归纳的索赔，并要求假设T(n) = 2^n -1：

基础：T(1) = 1 = 2^1 -1

诱导假设：对于所有k<n，T(k) = 2^k-1

证明：

T(n) = 2T(n-1) +1 =(i.h.) 2* (2^(n-1) -1) + 1 = 2^n -2 + 1 = 2^n - 1

备注：t（1）基本子句实际上是 C，对于某些常数而不是 1的 T(n) = 2T(n-1)+C，但我为简单而使用1。将其更改为C时，逻辑根本不会cha。

Answer 2

通过O(1)的定义，我们知道对于某些常数N和c，对于所有n >= N

T(n+1) <= 2 T(n) + c

因此，识别几何序列的模式，

T(N+1) <= 2 T(N) + c
T(N+2) <= 2 T(N+1) + c <= 4 T(N) + 2 c + c
T(N+3) <= 2 T(N+2) + c <= 8 T(N) + 4 c + 2 c + c
...
T(N+k) <= 2^k T(N) + (2^k-1) c

然后由n替换N + k，

T(n) <= 2^(n-N) T(N) + (2^(n-N)-1) c <= 2^n (2^(-N) (T(N) + c))

证明T(n)是O(2^n)。