高效的列相关系数计算

Question

原始问题

我将大小为 n 的

行 P 与大小为 n×m 的矩阵 O 的每一列相关联。我编写了以下代码：

import numpy as np
def ColumnWiseCorrcoef(O, P):
    n = P.size
    DO = O - (np.sum(O, 0) / np.double(n))
    DP = P - (np.sum(P) / np.double(n))
    return np.dot(DP, DO) / np.sqrt(np.sum(DO ** 2, 0) * np.sum(DP ** 2))

它比幼稚的方法更有效：

def ColumnWiseCorrcoefNaive(O, P):
    return np.corrcoef(P,O.T)[0,1:O[0].size+1]

以下是我在英特尔内核上使用numpy-1.7.1-MKL获得的时间：

O = np.reshape(np.random.rand(100000), (1000,100))
P = np.random.rand(1000)
%timeit -n 1000 A = ColumnWiseCorrcoef(O, P)
1000 loops, best of 3: 787 us per loop
%timeit -n 1000 B = ColumnWiseCorrcoefNaive(O, P)
1000 loops, best of 3: 2.96 ms per loop

现在的问题是：你能为这个问题建议一个更快的代码版本吗？挤出额外的 20% 会很棒。

2017年5月更新

一段时间后，我回到了这个问题，重新运行并扩展了任务和测试。

1. 使用 einsum，我将代码扩展到 P 不是行而是矩阵的情况。因此，任务是将 O 的所有列与 P 的所有列相关联。

2. 出于对如何用科学计算常用的不同语言解决同一问题的好奇，我在 MATLAB、Julia 和 R 中实现了它（在其他人的帮助下），MATLAB 和 Julia 是最快的，他们有一个专门的例程来计算列相关。R 也有专用的例程，但速度最慢。

3. 在当前版本的numpy（来自Anaconda的1.12.1）中，einsum仍然胜过我使用的专用函数。

所有脚本和时间安排都可以在 https://github.com/ikizhvatov/efficient-columnwise-correlation 获得。

Answer 1

我们可以对此介绍np.einsum; 但是，您的 milage 可能会根据您的编译以及是否使用 SSE2 而有所不同。替换求和操作的额外einsum调用可能看起来无关紧要，但是numpy ufuncs直到numpy 1.8才使用SSE2，而einsum则使用，我们可以避免一些if语句。

使用英特尔 mkl blas 在 opteron 内核上运行它，我得到一个奇怪的结果，因为我希望dot调用花费大部分时间。

def newColumnWiseCorrcoef(O, P):
    n = P.size
    DO = O - (np.einsum('ij->j',O) / np.double(n))
    P -= (np.einsum('i->',P) / np.double(n))
    tmp = np.einsum('ij,ij->j',DO,DO)
    tmp *= np.einsum('i,i->',P,P)          #Dot or vdot doesnt really change much.
    return np.dot(P, DO) / np.sqrt(tmp)
O = np.reshape(np.random.rand(100000), (1000,100))
P = np.random.rand(1000)
old = ColumnWiseCorrcoef(O,P)
new = newColumnWiseCorrcoef(O,P)
np.allclose(old,new)
True
%timeit ColumnWiseCorrcoef(O,P)
100 loops, best of 3: 1.52ms per loop
%timeit newColumnWiseCorrcoef(O,P)
1000 loops, best of 3: 518us per loop

再次使用带有英特尔 mkl 的英特尔系统运行它，我得到了更合理/预期的东西：

%timeit ColumnWiseCorrcoef(O,P)
1000 loops, best of 3: 524 µs per loop
%timeit newColumnWiseCorrcoef(O,P)
1000 loops, best of 3: 354 µs per loop

再次在英特尔机器上，有更大的东西：

O = np.random.rand(1E5,1E3)
P = np.random.rand(1E5)
%timeit ColumnWiseCorrcoef(O,P)
1 loops, best of 3: 1.33 s per loop
%timeit newColumnWiseCorrcoef(O,P)
1 loops, best of 3: 791 ms per loop