r语言 - 向量范数/矩阵乘法

Question

我有一个由矩阵描述的范数sigma

sigma <- matrix(c(1,0.5,0,0.5,1,0,0,0,1),3,3))

计算我计算的向量的范数

t(x) %*% sigma %*% x

这适用于矢量，例如 x = 1:3 .

但是我想同时计算许多向量的范数，也就是说我有

x <- t(matrix(rep(1:3, 10),3,10))

（当然充满了不同的条目）。

有没有办法同时计算每个向量的范数？即类似的东西

lapply(1:10, function(i) t(x[i,]) %*% sigma %*% x[i,])

Answer 1

你可以做：

sigma <- matrix(c(1,0.5,0,0.5,1,0,0,0,1),3,3)
x <- t(matrix(rep(1:3, 10),3,10))
mynorm <- function(x, sig) t(x) %*% sig %*% x
apply(x, 1, mynorm, sig=sigma)

这是带有tcrossprod()的变体：

mynorm <- function(x, sig) tcrossprod(x, sig) %*% x
apply(x, 1, mynorm, sig=sigma)

这是基准测试（包括仅计算 R 中矩阵乘法对角线的解决方案变体，这要归功于链接的@Benjamin）：

mynorm1 <- function(x, sig) t(x) %*% sig %*% x
mynorm2 <- function(x, sig) tcrossprod(x, sig) %*% x
microbenchmark(n1=apply(x, 1, mynorm1, sig=sigma), 
               n2=apply(x, 1, mynorm2, sig=sigma), 
               n3 = colSums(t(x) * (sigma %*% t(x))),
               n4 = rowSums(x * t(sigma %*% t(x))),
               n5 = rowSums(x * (x %*% t(sigma) )),
               n6 = rowSums(x * tcrossprod(x, sigma)),
               Eugen1 = diag(x %*% sigma %*% t(x)),
               Eugen2 = diag(x %*% tcrossprod(sigma, x)),
               unit="relative")

Answer 2

这应该可以

> sigma <- matrix(c(1,0.5,0,0.5,1,0,0,0,1),3,3)
> x <- t(matrix(rep(1:30, 10),3,10))
> 
> # should give
> t(x[1, ]) %*% sigma %*% x[1, ]
     [,1]
[1,]   16
> t(x[2, ]) %*% sigma %*% x[2, ]
     [,1]
[1,]   97
> 
> # which you can get by
> rowSums((x %*% sigma) * x)
 [1]   16   97  250  475  772 1141 1582 2095 2680 3337

Answer 3

你如何看待这个简单的矩阵乘法：

 diag(t(x) %*% sigma %*% x)

编辑：矩阵乘法后，您需要对角线（当然）。

然后它比应用的解决方案更快