R中的chol()函数一直返回上三角形(我需要下三角形)

Question

我正在尝试使用chol()函数在R中获得以下矩阵的下三角Cholesky分解。然而，它一直返回上三角分解，我似乎找不到一种方法来获得下三角分解，即使在查看了文档之后。下面是我使用的代码-

x <- matrix(c(4,2,-2, 2,10,2, -2,2,5), ncol = 3, nrow = 3)
Q <- chol(x)
Q
#       [,1] [,2]      [,3]
#  [1,]    2    1 -1.000000
#  [2,]    0    3  1.000000
#  [3,]    0    0  1.732051

我基本上需要找到矩阵Q使得QQ' = X。谢谢你的帮助!

Answer 1

我们可以使用t()将得到的上三角形转置为下三角形:

x <- matrix(c(4,2,-2, 2,10,2, -2,2,5), ncol = 3, nrow = 3)
R <- chol(x)  ## upper tri
L <- t(R)  ## lower tri
all.equal(crossprod(R), x)  ## t(R) %*% R
# [1] TRUE
all.equal(tcrossprod(L), x)  ## L %*% t(L)
# [1] TRUE

但是，我认为你不是唯一一个有这种疑虑的人。因此，我将详细说明这一点。 R基

chol.default调用LAPACK例程dpotrf进行非枢轴Cholesky分解，调用LAPACK例程dpstrf进行枢轴Cholesky分解。两个LAPACK例程都允许用户选择是使用上三角形还是下三角形，但是R禁用了下三角形选项，只返回上三角形。查看源代码:

chol.default
#function (x, pivot = FALSE, LINPACK = FALSE, tol = -1, ...) 
#{
#    if (is.complex(x)) 
#        stop("complex matrices not permitted at present")
#    .Internal(La_chol(as.matrix(x), pivot, tol))
#}
#<bytecode: 0xb5694b8>
#<environment: namespace:base>
// from: R_<version>/src/modules/lapack.c
static SEXP La_chol(SEXP A, SEXP pivot, SEXP stol)
{
  // ...omitted part...
if(!piv) {
int info;
F77_CALL(dpotrf)("Upper", &m, REAL(ans), &m, &info);
if (info != 0) {
    if (info > 0)
    error(_("the leading minor of order %d is not positive definite"),
          info);
    error(_("argument %d of Lapack routine %s had invalid value"),
      -info, "dpotrf");
}
} else {
double tol = asReal(stol);
SEXP piv = PROTECT(allocVector(INTSXP, m));
int *ip = INTEGER(piv);
double *work = (double *) R_alloc(2 * (size_t)m, sizeof(double));
int rank, info;
F77_CALL(dpstrf)("U", &m, REAL(ans), &m, ip, &rank, &tol, work, &info);
if (info != 0) {
    if (info > 0)
    warning(_("the matrix is either rank-deficient or indefinite"));
    else
    error(_("argument %d of Lapack routine %s had invalid value"),
          -info, "dpstrf");
}
// ...omitted part...
return ans;
}

如您所见，它将"Upper"或"U"传递给LAPACK。

上三角因子在统计学中比较常见的原因是我们在最小二乘计算中经常将Cholesky分解与QR分解进行比较，而QR分解只返回上三角。要求chol.default总是返回上三角形提供了代码重用。例如，chol2inv函数用于查找最小二乘估计的未缩放协方差，我们可以将chol.default或qr.default的结果提供给它。参见如何在R中使用QR分解计算最小二乘估计的方差?详情。