在找到两个平面相交的直线的情况下，您需要取两个平面法线的交叉乘积。这个叉积只是取矩阵的行列式：
i j k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
其中 (x， y， z( 是每个平面的法向量。结果是平行于交点线的矢量。从那里你需要找到一个位于两个平面上的点。这两个部分结合在一起，为您提供了一条完全定义的线。
如何将其扩展到在平面上相交的超平面？我假设我需要采用类似矩阵的行列式，但我想到的矩阵：
h i j k
w1 x1 y1 z1
w2 x2 y2 z2
不是方阵。另外，我不知道如何找到位于两个超平面上的点。
谁能向我解释如何找到超平面的相交平面？
谢谢你的时间！
您不必为此计算行列式，只需执行简单的变量替换，您将获得相交平面。例如，如果您有两个超平面：
3x + 4y + 2z - 7w = 10
2x - 3y + 2z + 1w = 2
然后，您可以隔离w(或任何其他变量(：
w = 2 - 2x + 3y - 2z
并在第一个等式中替换它：
3x + 4y + 2z - 7(2 - 2x + 3y - 2z) = 10
这导致：
17x - 17y + 16z - 14 = 10
现在你有你的相交平面。只是简单的数学。
完整的 4D 平面表示基于这两个方程，首先找到求解17x - 17y + 16z - 14 = 10 (x, y, z)值，然后使用 w = 2 - 2x + 3y - 2z 计算w。
简单变量替换的答案是不正确的。 3x + 4y + 2z - 7(2 - 2x + 3y - 2z( = 10 本身是四维空间中的三维超平面，它不表示两个给定的三维超平面在四维空间中的交点。方程少一个变量的事实不会降低对象的维数。
打个比方：y=7 仍然是 2d 中的一维线，就像 y=x+7 一样。 z+y=5 仍然是 3d 中的 2d 平面，就像 x+y+z=5 一样。
变量替换在 3D 中不起作用，我们按照概述进行交叉乘积，并且在 4D 中不起作用。在 4D 中表示 2D 对象需要 2 个方程(两个 3D 超平面的交点是 2D 对象。为了类比，告诉我在2D中映射为点的单个"方程"。 y=5x+2 是一条线，y=x 是一条线，x=6 是一条线，y=0 是一条线。 如果我们在 4D 中，即使是简单的方程 y=1 也是一个 3D 超平面。 删除变量不是获取 2D 中 0D 点、3D 中的 1D 线或 4D 中两个 3D 超平面的 2D 相交方程的方法。 所有这些都需要两个同时为真的方程来定义它们。 不能只是替换变量。
您需要设置一个对应于超平面的矩阵系统 (Ax=b(，然后查看解决方案的秩。这将告诉它是否有解决方案，如果是，它是否是点/线/平面/等。
我有一个问题：对于所有正整数 n，R^4 中有 n 个 3 暗淡的超泳道，使得它们之间的交点是一个平面，这是真的吗？