计算几何级数的上三角矩阵的最快方法(Python)

Question

并提前感谢您的帮助。

使用Python（主要是numpy），我试图计算一个上三角矩阵，其中每行"j"是几何级数的第一个j项，所有行都使用相同的参数。

例如，如果我的参数是B（其中abs（B）=<1，即[-1,1]中的B），则第1行将是[1 B B^2 B^3…B^（N-1）]，第2行将是[0 1 B B^2…B^（N-2）]……第N行将是[0]…1]。

这种计算是贝叶斯大都会吉布斯采样器的关键，因此需要对"B"的新值进行数千次计算。

我目前已经尝试了两种方法：

方法1-主要矢量化：

B_Matrix = np.triu(np.dot(np.reshape(B**(-1*np.array(range(N))),(N,1)),np.reshape(B**(np.array(range(N))),(1,N))))

本质上，这是Nx1和1xN矩阵集的乘积的上三角部分：

上三角形（[1 B^（-1）B^（-2）…B^（-（N-1））]'*[1 B^ 2 B^ 3…B^

这对小N很有效（在代数上是正确的），但对大N则会出错。并且它在B＝0时产生错误（这应该是允许的）。我认为这源于对小B和大N取B^（-N）~inf。

方法2:

B_Matrix = np.zeros((N,N))
B_Row_1 = B**(np.array(range(N)))
for n in range(N):
    B_Matrix[n,n:] = B_Row_1[0:N-n]

因此，它只是逐行填充矩阵，但使用了一个循环来减慢速度。

我想知道以前是否有人遇到过这种情况，或者对如何更快地计算这个矩阵有什么更好的想法。

我以前从未在stackoverflow上发帖，但在任何地方都没有看到这个问题，我想我会问的。

让我知道是否有更好的地方问这个问题，以及我是否应该提供更多的细节。

Answer 1

您可以使用scipy.linalg.toeplitz:

In [12]: n = 5
In [13]: b = 0.5
In [14]: toeplitz(b**np.arange(n), np.zeros(n)).T
Out[14]: 
array([[ 1.    ,  0.5   ,  0.25  ,  0.125 ,  0.0625],
       [ 0.    ,  1.    ,  0.5   ,  0.25  ,  0.125 ],
       [ 0.    ,  0.    ,  1.    ,  0.5   ,  0.25  ],
       [ 0.    ,  0.    ,  0.    ,  1.    ,  0.5   ],
       [ 0.    ,  0.    ,  0.    ,  0.    ,  1.    ]])

如果你对数组的使用是严格的"只读"，你可以用numpy步幅来快速创建一个只使用2*n-1个元素（而不是n^2）的数组：

In [55]: from numpy.lib.stride_tricks import as_strided
In [56]: def make_array(b, n):
   ....:     vals = np.zeros(2*n - 1)
   ....:     vals[n-1:] = b**np.arange(n)
   ....:     a = as_strided(vals[n-1:], shape=(n, n), strides=(-vals.strides[0], vals.strides[0]))
   ....:     return a
   ....: 
In [57]: make_array(0.5, 4)
Out[57]: 
array([[ 1.   ,  0.5  ,  0.25 ,  0.125],
       [ 0.   ,  1.   ,  0.5  ,  0.25 ],
       [ 0.   ,  0.   ,  1.   ,  0.5  ],
       [ 0.   ,  0.   ,  0.   ,  1.   ]])

如果要就地修改数组，请复制make_array(b, n)返回的结果。即arr = make_array(b, n).copy()。

函数make_array2包含@Jaime在评论中提出的建议：

In [30]: def make_array2(b, n):
   ....:     vals = np.zeros(2*n-1)
   ....:     vals[n-1] = 1
   ....:     vals[n:] = b
   ....:     np.cumproduct(vals[n:], out=vals[n:])
   ....:     a = as_strided(vals[n-1:], shape=(n, n), strides=(-vals.strides[0], vals.strides[0]))
   ....:     return a
   ....: 
In [31]: make_array2(0.5, 4)
Out[31]: 
array([[ 1.   ,  0.5  ,  0.25 ,  0.125],
       [ 0.   ,  1.   ,  0.5  ,  0.25 ],
       [ 0.   ,  0.   ,  1.   ,  0.5  ],
       [ 0.   ,  0.   ,  0.   ,  1.   ]])

make_array2的速度是make_array:的两倍多

In [35]: %timeit make_array(0.99, 600)
10000 loops, best of 3: 23.4 µs per loop
In [36]: %timeit make_array2(0.99, 600)
100000 loops, best of 3: 10.7 µs per loop