找到 2 个知道其交叉乘积和一个约束的向量

Question

我必须在 3D 空间中找到两个向量，a和b已知c的a x b = c。我还知道一个约束，假设a_y = 0
所以我必须在(c_x)x+(c_y)y+(c_z)z=0平面上寻找这 2 个向量，对于向量a我可以将其简化为(c_x)x+(c_z)z=0
对于向量b因为它垂直于a，它也必须在平面和(c_x)x+(c_y)y+(c_z)z=0平面(a_x)x+(a_z)z=0交。
添加交叉积方程后，我有4方程和5未知数(a_x,a_z,b_x,b_y,b_z)。我该如何解决这个问题？
提前感谢。

编辑：也许解释我需要这些会以某种方式有所帮助.
我有相机方向矢量，我需要指向屏幕右侧的矢量，第二个指向上方。

Answer 1

1. 问题定义

   A,B=?
   C=!
   Ay=!
   A x B = C
   

   由于垂直性，点和叉积的隐含性质：

   (A.C) = 0
   (B.C) = 0
   |A|.|B| = |C|
   

2. 将其中一个向量的length设置为任何已知的常量，例如1

   |A|=1
   |B|=|C|
   

   约翰·默勒在他的评论中也提到了这一点

3. 计算A

   因此，|A|=1长度和(A.C)=0的点积，因为它们是垂直的，因此：

   Ax^2 + Ay^2 + Az^2 = 1
   Ax.Cx + Ay.Cy + Az.Cz = 0
   

   这是2方程组，2未知数，所以解决它。这将导致2解决方案选择非零。

4. 计算B

   我们知道B垂直于C所以(B.C)=0所以把约束放在一起：

   A x B = C
   Bx.Cx + By.Cy + Bz.Cz = 0
   Bx^2 + By^2 + Bz^2 = Cx^2 + Cy^2 + Cz^2
   

   如果你展开叉积，你会得到5方程和3未知数。所以求解系统(选择任何3非平凡方程)。

PS似乎这是为了生成您的NEH矩阵类比

因此，如果是这种情况，所有 3 个向量都彼此垂直，而一个指向特定方向(Up或North...)，并且所有向量的大小通常1。

因此，让我们假设D向量是已知的对齐向量：

A'= C x D
B = C x A'
A = C x B

您可以更改操作数的顺序以获取所需的方向。如果D未知，那么您可以使用(1,0,0)或(0,1,0)或(0,0,1)选择与C不平行的...或拥有最大的(C.D).另请查看：

• 如何找到视点坐标？

[注释]

点积：(A.B)=Ax.Bx+Ay.By+Az.Cz
交叉积：A x B
长度：|A| = sqrt (Ax^2 + Ay^2 + Az^2)