一个 Python 编码练习要求创建一个函数 f，使得 f(k) 是第 k 个数字，这样它从左边和右边的第 k 位数字之和到 10 对于所有 k。例如5, 19, 28, 37是序列中的前几个数字。
我使用这个函数显式检查数字"n"是否满足属性：
def check(n):
#even digit length
if len(str(n)) % 2 == 0:
#looping over positions and checking if sum is 10
for i in range(1,int(len(str(n))/2) + 1):
if int(str(n)[i-1]) + int(str(n)[-i]) != 10:
return False
#odd digit length
else:
#checking middle digit first
if int(str(n)[int(len(str(n))/2)])*2 != 10:
return False
else:
#looping over posotions and checking if sum is 10
for i in range(1,int(len(str(n))/2) + 1):
if int(str(n)[i-1]) + int(str(n)[-i]) != 10:
return False
return True
然后我遍历所有数字以生成序列：
for i in range(1, 10**9):
if check(i):
print(i)
但是，该练习需要一个函数 f(i)，该函数在 10 秒内返回第 i 个这样的数字。显然，我的需要更长的时间，因为它在数字"i"之前生成整个序列来计算它。是否可以创建一个不必计算所有先前数字的函数？
测试每个自然数是一种糟糕的方法。只有一小部分自然数具有这种性质，随着我们进入更大的数字，该分数会迅速减少。在我的机器上，下面的简单 Python 程序花了 3 秒多的时间找到第 1,000 个数字 (2,195,198)，花了 26 秒多的时间找到第 2,000 个数字 (15,519,559)。
# Slow algorithm, only shown for illustration purposes
# '1': '9', '2': '8', etc.
compl = {str(i): str(10-i) for i in range(1, 10)}
def is_good(n):
# Does n have the property
s = str(n)
for i in range((len(s)+1)//2):
if s[i] != compl.get(s[-i-1]):
return False
return True
# How many numbers to find before stopping
ct = 2 * 10**3
n = 5
while True:
if is_good(n):
ct -= 1
if not ct:
print(n)
break
n += 1
显然，需要一种更有效的算法。
我们可以遍历数字字符串的长度，并在其中按数字顺序生成带有该属性的数字。伪代码中的算法草图：
for length in [1 to open-ended]:
if length is even, middle is '', else '5'
half-len = floor(length / 2)
for left in (all 1) to (all 9), half-len, without any 0 digits:
right = 10's complement of left, reversed
whole-number = left + middle + right
现在，请注意，每个长度的数字计数很容易计算：
Length First Last Count
1 5 5 1
2 19 91 9
3 159 951 9
4 1199 9911 81
5 11599 99511 81
一般来说，如果左半部分有n位数字，则计数9**n.
因此，我们可以简单地遍历数字计数，计算存在多少个解决方案，而无需计算它们，直到我们到达包含所需答案的队列。然后，计算我们想要的数字应该相对简单，同样，不必遍历每种可能性。
上面的草图应该会产生一些想法。编写完后要遵循的代码。
法典：
def find_nth_number(n):
# First, skip cohorts until we reach the one with the answer
digits = 1
while True:
half_len = digits // 2
cohort_size = 9 ** half_len
if cohort_size >= n:
break
n -= cohort_size
digits += 1
# Next, find correct number within cohort
# Convert n to base 9, reversed
base9 = []
# Adjust n so first number is zero
n -= 1
while n:
n, r = divmod(n, 9)
base9.append(r)
# Add zeros to get correct length
base9.extend([0] * (half_len - len(base9)))
# Construct number
left = [i+1 for i in base9[::-1]]
mid = [5] * (digits % 2)
right = [9-i for i in base9]
return ''.join(str(n) for n in left + mid + right)
n = 2 * 10**3
print(find_nth_number(n))
这是一个利用以下模式的函数：相邻幂 10 之间的"有效"数字数是 9 的幂。这使我们能够跳过很多数字。
def get_starting_point(k):
i = 0
while True:
power = (i + 1) // 2
start = 10 ** i
subtract = 9 ** power
if k >= subtract:
k -= subtract
else:
break
i += 1
return k, start
我将其与您定义的方法相结合。假设我们对第 45 个数字感兴趣， 这说明了搜索从 1000 开始，我们只需要找到 1000 之后出现的第 26 个"有效"数字。保证小于10000。当然，这种界限在规模上变得越来越严重，你会想要使用其他社区成员在这篇文章中建议的技术。
k = 45
new_k, start = get_starting_point(k)
print('new_k: {}'.format(new_k))
print('start at: {}'.format(start))
ctr = 0
for i in range(start, 10**9):
if check(i):
ctr += 1
if ctr == new_k:
break
print(i)
输出：
new_k: 26
start at: 1000
3827
似乎第 45 个数字是 3827。