这个问题使我陷入困境。
我有一组线，这些线是从某些数据产生形式的3D行的数据中形成的：
p = a d t
而a是位置向量，d是单位方向向量。
基本上，我想使用最小二乘拟合，从而找到与所有这些线的最近点。我一直无法在线找到算法或如何在Java中实施它。我使用vector3D或realvector的Apache Commons数学库来计算行方程。因此，对解决此问题的算法或示例代码的任何帮助将有所帮助。
假设您想最大程度地减少平方距离的总和，并假设wlog wlog为单位 d 是单位，则总平方距离为
σ（（ AP ）²-（ AP 。 d ）
当总和接管所有（ a ， d ）行。
该表达式的梯度为
σ（2 ap -2（ ap 。
通过取消它，我们在 p 中获得了一个线性系统。
@yvesdaoust的扩展版本答案：
给定参数线：
L(t) = A + t D
其中d是单位向量，即d•d = 1
点P到线L的距离为：
t = D • (P - A)
在最小二乘意义上，最接近一组线的点P是最小化误差之和e：
E = (P - L(t))^2
E = (P - (A + tD))^2
E = (P - A - tD)^2
E = (P - A - (D • (P - A))D)^2
E = (P - A - (D•P - D•A)D)^2
E = (P - A - (D•P)D + (D•A)D)^2
E = (P - (D•P)D - A + (D•A)D)^2
E = (P - (D D^T)P - A + (D•A)D)^2
E = ((I - (D D^T)) P - A + (D•A)D)^2
E = (C x - b)^2
其中
C = I - (D D^T)
x = P
b = A - (D•A)D
其中" i"是3x3身份矩阵。最小二乘解决方案是：
C^T C x = C^T b
衍生同一系统的其他方法是采用方程式的导数：
E = (P - A - tD)^2
E = P•P - 2 P•A - 2t P•D + A•A + 2t A•D + t^2
采用有关p的导数并简化我们得到的（请记住在服用" t"的导数时应用链条规则，因为它是p的函数）：
dE/dP = 2(P - A - ((P - A) • D) D)
将其等于零：
dE/dP = 0
2(P - A - ((P - A)•D) D) = 0
P - ((P - A)•D) D = A
P - (P•D) D + (A•D) D = A
P - (P•D) D = A - (A•D) D
P - (D D^T) P = A - (A•D) D
(I - D D^T) P = A - (A•D) D
其中" i"是3x3身份矩阵。这再次是形式c x = b的线性系统。
请记住，您仍然需要将总和应用于等式的两侧，所以确实是：
Sum(C^T C) x = Sum(C^T b)
所以最后：
x = Sum(C^T C)^-1 Sum(C^T b)