快速计算三角方程 c++ 解的方法

Question

在 C++ 中计算以下方程中 x 的最快方法是什么？

sin (a x) + b sin (c x)== d * x + e

我不需要一个非常精确的x值，0.001的近似值是可以接受的。我也知道一个解决方案的中间人[x_0，x_1]。

我知道牛顿方法，但是由于我要模拟一个系统并且我需要解决数千次，我不知道如何给出第一个解决方案

Answer 1

您可以将等式重新表述为

罪 （a x） + b 罪 （c x） - d * x - e == 0

现在，这是一个根本查找问题。以下是根查找算法的列表。

牛顿的方法非常快速且易于实现，因为方程的导数可以通过解析计算。

#include <array>
#include <iostream>
#include <cmath>
template <typename T> double func(const T &parameter, const double x) {
  const auto a = parameter[0];
  const auto b = parameter[1];
  const auto c = parameter[2];
  const auto d = parameter[3];
  const auto e = parameter[4];
  return sin(a * x) + b * sin(c * x) - (d * x + e);
}
template <typename T> double derivative(const T &parameter, const double x) {
  const auto a = parameter[0];
  const auto b = parameter[1];
  const auto c = parameter[2];
  const auto d = parameter[3];
  return a * cos(a * x) + b * c * cos(c * x) - d;
}
template <typename T> double solve(const T &parameter) {
  double x = 0.0;
  const double eps = 1e-9;
  while (fabs(func(parameter, x)) > eps) {
    x = x - func(parameter, x) / derivative(parameter, x);
  }
  return x;
}
int main() {
  const std::array<double, 5> parameter{1.1, 1.2, 0.9, 0.1, 0.1};
  const auto x = solve(parameter);
  std::cout << "solution is x=" << x << " f(x)=" << func(parameter, x) << 'n';
}

从double到float以加快速度，如果您所需的精度允许的话。

Answer 2

我假设你正在寻找一个数值解，给定已知的参数a、b、c、d、e。通过这个肮脏的迭代可以找到一个近似的解决方案。但不能保证收敛参数的所有值。做到这一点的唯一方法是给出解决方案的分析上限和下限，并使用平分根查找进行迭代。

#include<numeric>
#include<iostream>
#include<cmath>
using std::cout;
int main(){
    auto a = 1.1;
    auto b = 1.2;
    auto c = 0.9;
    auto d = 0.1;
    auto e = 0.1;
    auto N = 1000;
    auto x = 0.;
    for(int n = 0; n != N; ++n)
        x = 0.999*x + 0.001*(sin(a*x) + b*sin(c*x) - e)/d;
    cout << sin(a*x) + b*sin(c*x) << " == " << d*x + e << 'n';
    cout << "solution is x = " << x << 'n';
}

（为简单起见，这是C++11）