8 个谜题可解性规则是否适用于任何目标状态

Question

我了解到，8 谜题的可解性可以通过遵循某些规则来检查。https://www.cs.bham.ac.uk/~mdr/teaching/modules04/java2/TilesSolvability.html

http://ldc.usb.ve/~gpalma/ci2693sd08/puzzleFactible.txt。

我的问题是，当目标状态（解决方案）按正确的升序排列时，此可解性检查是否仅适用于？例：

   Start state
    3   1   5 
    6   0   4 
    2   7   8
    Goal state1        Goal State2
    3   1   5           1   2   3
    6   4   8           4   5   6
    2   0   7           7   8   0

现在我的观察是，如果示例中的目标状态是目标状态 2，则可解性检查将起作用。但是，如果目标状态为 Goal state1，则它不起作用。

Answer 1

反转计数可以是奇数或偶数，简而言之，我们可以将状态称为偶数或奇数。这称为州平价。如果开始状态是偶数，那么它是可解的。在引用的文章中，这确实意味着目标必须是具有增量顺序的目标。

但是，由于实际上存在两类状态（基于平价），并且您只能通过采取合法行动来保持在这两类状态之一内 - 即当您采取合法行动时，奇偶校验是不变的 - 这个原则可以扩展到任何目标状态：

如果起始状态的奇偶校验

与目标状态的奇偶校验相同，则它是可访问的（可解决的）。

在您给出的示例状态中，起始状态是奇数，第一个目标状态也是奇数。所以它们属于同一类，一个可以从另一个到达。

下面是 JavaScript 中奇偶校验的简单实现。它也适用于偶数大小的网格：

function parity(grid) {
    var inversions = 0;
    // take copy and remove blank (0) from it.
    var arr = grid.slice(0);
    arr.splice(arr.indexOf(0), 1);
    // perform sort and count swaps
    for (var i = 1; i < arr.length; i++) {
        for (var j = i - 1; j >= 0; j--) {
            if (arr[j] <= arr[j+1]) break;
            [arr[j+1], arr[j]] = [arr[j], arr[j+1]];
            inversions++;
        };
    }
    if (grid.length % 2 == 0) { // even grid width
        var size = Math.round(Math.sqrt(grid.length));
        var blankRow = Math.floor((grid.length - 1 - grid.indexOf(0)) / size);
        inversions += blankRow;
    }
    return inversions & 1; // only odd/even is needed as info
}
document.querySelector('button').onclick = function() {
    var res = '';
    var txt = document.querySelector('textarea');
    var grid = txt.value.trim().split(/[,s]+/g).map(Number);
    var size = Math.round(Math.sqrt(grid.length));
    var res = size*size !== grid.length
            ? 'input is not a complete square matrix of data'
            : 'parity = ' + parity(grid);
    document.querySelector('pre').textContent = res;
}

Enter grid. 0 represents empty slot.<br>
<textarea rows=4>3   1   5 
6   0   4 
2   7   8
</textarea><button>Verify</button><br>
<pre></pre>

Answer 2

是的，它确实有效。有一种非常微不足道的方式来显示这一点。只需将解决方案中的值映射到假设您的 GoalState2 的值，检查适用于该值：

state we want to reach   Goal State2
3   1   5                1   2   3
6   4   8                4   5   6
2   0   7                7   8   0
map:
3 -> 1
1 -> 2
3 -> 5
...

现在，将此表应用于开始状态，方法是将每个值替换为映射到的值，以过去对 GoalState2 进行的方式解决整个问题，并反转最终状态的映射。如果存在，您就有了所需的结果。可解性规则可以重用，而无需更改一点，只需使用简单的重新映射即可。

说明其工作原理：

state we want to reach   Goal State2
3   1   5                1   2   3
6   4   8                4   5   6
2   0   7                7   8   0
build map
map:
3 -> 1
1 -> 2
3 -> 5
...
Start state
3   1   5   apply map  1  2  3  solve for  1  2  3  apply        3  1  5
6   0   4   -------->  4  8  5  -------->  4  5  6  --------->   6  4  8
2   7   8              7  0  6   GoalS2    7  8  0  reverse map  2  0  7

这是解决它的最微不足道的方法。只要将这些数字视为没有任何意义的标签，您就已经完成了一半。

有关更复杂的答案，让您更好地了解规则本身，请查看@trincots答案。