带有两个递归调用的递归算法的时间复杂性

Question

我正在尝试分析递归算法的时间复杂性，该递归算法求解了在锤距t问题中生成的所有位序列。算法是：

// str is the bitstring, i the current length, and changesLeft the
// desired Hamming distance (see linked question for more)
void magic(char* str, int i, int changesLeft) {
        if (changesLeft == 0) {
                // assume that this is constant
                printf("%sn", str);
                return;
        }
        if (i < 0) return;
        // flip current bit
        str[i] = str[i] == '0' ? '1' : '0';
        magic(str, i-1, changesLeft-1);
        // or don't flip it (flip it again to undo)
        str[i] = str[i] == '0' ? '1' : '0';
        magic(str, i-1, changesLeft);
}

该算法的时间复杂性是多少？

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当涉及到这一点时，我很喜欢自己生锈，这是我的尝试，我觉得这不是事实：

t(0) = 1
t(n) = 2t(n - 1) + c
t(n) = t(n - 1) + c
     = t(n - 2) + c + c
     = ...
     = (n - 1) * c + 1
    ~= O(n)

其中 n是位字符串的长度。

相关问题：1，2。

Answer 1

它是指数：

t(0) = 1
t(n) = 2 t(n - 1) + c
t(n) = 2 (2 t(n - 2) + c) + c          = 4 t (n - 2) + 3 c
     = 2 (2 (2 t(n - 3) + c) + c) + c  = 8 t (n - 3) + 7 c
     = ...
     = 2^i t(n-i) + (2^i - 1) c         [at any step i]
     = ...
     = 2^n t(0) + (2^n - 1) c          = 2^n + (2^n - 1) c
    ~= O(2^n)

或使用Wolframalpha：https：//www.wolframalpha.com/input/?i=t（0）％3D1， t（n）％3D2 t（n-1） ％2b c

其指数的原因是，您的递归调用将问题大小减少了1，但是您正在进行两个递归电话。您的递归呼叫正在形成二进制树。