来自维基百科关于递归定义的条目：
集合的归纳定义用集合中的其他元素来描述集合中的元素。例如，自然数集合N的一个定义是：
- 1在N中
- 如果元素n在n中，则n+1在n中
- N是满足（1）和（2）的最小集合
有许多集合满足（1）和（2）-例如，集合{1，1.649，2，2.649，3，3.649，…}满足定义。
我不明白为什么需要（3）。在给出的例子中，它指出1.649是这个集合的一个成员，但1.649不满足（1）或（2）。
为什么需要（3），1.649是如何在集合中的？
列表中的规则2是"if"，而不是"if and only if"。它们不是生成集合的规则，而是决定是否允许集合的规则。集合{1，1.649，2，2.649，3，3.649，…}满足规则1，因为1在集合中。它满足规则2，因为对于集合中的每个元素，该元素加1也在集合中。事实上，即使是实数集也满足前两条规则，并且它有无数个你不需要的"额外"元素。
只有第3条规则可以阻止您向集合中添加任意的额外元素，即集合必须是尽可能小的一个。
前两个需求并不能确定某些元素不在集合中。虽然我们保证有1，但没有理由不包含1.649。
很明显，我们希望自然数集是唯一的，并且只有{0，1，…}，因为我们需要能够对所有自然数做出断言。
举个例子，我们希望能够做出的一个基本陈述是，任何自然数要么是自然数的后继，要么是1。从集合中的另一个数字开始有一个等价的链是没有帮助的。
(1) 1 is a natural number`
(2) If N is a natural number, than N+1 is a natural number as well
这是含义，而不是等价。这说明，如果对于任何一个数，这些条件成立，它就是一个自然数。它没有说明是否存在其他自然数。
(3) N is the smallest set satisfying (1) and (2)
这恰恰说明前两种情况令人精疲力竭。不仅每个满足它们的数都是自然的，而且——任何不满足的数都不是自然的。
条件（3）也可以重新表述为
Every natural number can be obtained by a finite number of applications of (2) on (1)
或简称
Nothing else is a natural number