多元回归分析在R中使用QR分解

Question

我试图用QR分解写一个函数来解决多重回归。输入:y向量和X矩阵;输出:b, e, R^2。到目前为止，我已经得到了这个，但我被困住了;我想我把一切都弄得太复杂了:

QR.regression <- function(y, X) {
X <- as.matrix(X)
y <- as.vector(y)
p <- as.integer(ncol(X))
if (is.na(p)) stop("ncol(X) is invalid")
n <- as.integer(nrow(X))
if (is.na(n)) stop("nrow(X) is invalid")
nr <- length(y)
nc <- NCOL(X)
# Householder 
for (j in seq_len(nc)) {
id <- seq.int(j, nr)
sigma <- sum(X[id, j]^2)
s <- sqrt(sigma)
diag_ej <- X[j, j]
gamma <- 1.0 / (sigma + abs(s * diag_ej))
kappa <- if (diag_ej < 0) s else -s
X[j,j] <- X[j, j] - kappa
if (j < nc)
for (k in seq.int(j+1, nc)) {
yPrime <- sum(X[id,j] * X[id,k]) * gamma
X[id,k] <- X[id,k] - X[id,j] * yPrime
}
yPrime <- sum(X[id,j] * y[id]) * gamma
y[id] <- y[id] - X[id,j] * yPrime
X[j,j] <- kappa
} # end of Householder transformation
rss <- sum(y[seq.int(nc+1, nr)]^2)  # residuals sum of squares
e <- rss/nr
e <- mean(residuals(QR.regression)^2)
beta <- solve(t(X) %*% X, t(X) %*% y)
for (i in seq_len(ncol(X))) # set zeros in the lower triangular side of X
X[seq.int(i+1, nr),i] <- 0
Rsq <- (X[1:nc,1:nc])^2
return(list(Rsq=Rsq, y = y, beta = beta, e = e))
}

UPDATE:
my.QR <- function(y, X) {
X <- as.matrix(X)
y <- as.vector(y)
p <- as.integer(ncol(X))
if (is.na(p)) stop("ncol(X) is invalid")
n <- as.integer(nrow(X))
if (is.na(n)) stop("nrow(X) is invalid")
qr.X <- qr(X)
b <- solve(t(X) %*% X, t(X) %*% y)
e <- as.vector(y - X %*% beta) #e
R2 <- (X[1:p, 1:p])^2
return(list(b = b, e= e, R2 = R2 ))
}
X <- matrix(c(1,2,3,4,5,6), nrow = 2, ncol = 3)
y <- c(1,2,3,4)
my.QR(X, y)

Answer 1

这完全取决于您可以使用多少R的内置工具来解决这个问题。我已经知道lm是不允许的，所以下面是故事的其余部分。

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如果允许使用lm以外的任何例程

那么你可以简单地使用lm.fit, .lm.fit或lsfit进行基于qr的普通最小二乘求解。

lm.fit(X, y)
.lm.fit(X, y)
lsfit(X, y, intercept = FALSE)

其中，.lm.fit是最轻的，而lm.fit和lsfit非常相似。以下是我们可以通过.lm.fit做的:

f1 <- function (X, y) {
  z <- .lm.fit(X, y)
  RSS <- crossprod(z$residuals)[1]
  TSS <- crossprod(y - mean(y))[1]
  R2 <- 1 - RSS / TSS
  list(coefficients = z$coefficients, residuals = z$residuals, R2 = R2)
  }

在你同学的问题:用奇异值分解求解普通最小二乘的Toy R函数中，我已经用它来检验SVD方法的正确性。

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如果不允许使用R的内置QR分解例程qr.default

如果.lm.fit是不允许的，但qr.default是允许的，那么它也不是那么复杂。

f2 <- function (X, y) {
  ## QR factorization `X = QR`
  QR <- qr.default(X)
  ## After rotation of `X` and `y`, solve upper triangular system `Rb = Q'y` 
  b <- backsolve(QR$qr, qr.qty(QR, y))
  ## residuals
  e <- as.numeric(y - X %*% b)
  ## R-squared
  RSS <- crossprod(e)[1]
  TSS <- crossprod(y - mean(y))[1]
  R2 <- 1 - RSS / TSS
  ## multiple return
  list(coefficients = b, residuals = e, R2 = R2)
  }

如果您进一步需要估计系数的方差-协方差，请参见如何在R中使用QR分解计算最小二乘估计量的方差。

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如果你甚至不允许使用qr.default

那么我们必须自己写出QR分解。在R代码中编写一个Householder QR分解函数是这样的。

使用函数myqr，我们可以写

f3 <- function (X, y) {
  ## our own QR factorization
  ## complete Q factor is not required
  QR <- myqr(X, complete = FALSE)
  Q <- QR$Q
  R <- QR$R
  ## rotation of `y`
  Qty <- as.numeric(crossprod(Q, y))
  ## solving upper triangular system
  b <- backsolve(R, Qty)
  ## residuals
  e <- as.numeric(y - X %*% b)
  ## R-squared
  RSS <- crossprod(e)[1]
  TSS <- crossprod(y - mean(y))[1]
  R2 <- 1 - RSS / TSS
  ## multiple return
  list(coefficients = b, residuals = e, R2 = R2)
  }

f3不是非常有效的，因为我们已经明确地形成了Q，即使它是薄的Q因子。原则上，我们将y与X的QR分解一起旋转，因此不需要形成Q。

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如果你想修复你现有的代码

这需要一些调试工作，因此需要一些时间。