通过旋转矩阵数组旋转向量数组

Question

如果我们有一个3 x 3旋转矩阵R，它可以乘以v，一个3 x N数组 - 一个N列向量的数组 - 以产生一个新的旋转向量3 x N数组，如下所示：

v_rotated = R.dot(v)

现在假设我们有一个N x M x 3数组，N 倍M向量，我想用N不同的3 x 3旋转矩阵(每个"行"向量一个旋转矩阵(旋转它。这很容易用循环来完成，但是有没有更快，更紧凑(矢量化(的方法来实现它，例如使用numpy的dot或tensorproduct？

循环实现的示例代码：

from numpy import cos, sin, array, pi, linspace, random
# 100 different rotation matrices:
R = [array([[1, 0, 0], [0, cos(theta), -sin(theta)], [0, sin(theta), cos(theta)]]) for theta in linspace(0, pi, 100)]
# 100 x 200 random vectors:
v = random.random((100, 200, 3))
# rotate vectors in loop:
rotated_v = array([R_.dot(v_.T).T for R_, v_ in zip(R, v)])

Answer 1

假设v.shape是(N, M, 3)，R.shape是(N, 3, 3)，您可以使用np.einsum

import numpy as np
rotated_v = np.einsum('lij, lkj->lki', R, v)

其中l是N上的索引，i和j是旋转维度上的索引3x3 k是M上的索引。

我与您的结果匹配如下：

>>> print np.allclose(my_rotated_v, your_rotated_v)
True