特征向量的符号差异取自 Matlab 和 Python

Question

你能解释一下为什么某些特征向量(2-4(有符号差异吗？这种差异是否会影响进一步计算中的进一步计算，例如降维？

矩阵：

N = 5000;
dataA = rand(N,5);
covA = cov(dataA);
%covA = dataA*dataA'/(length(dataA)-1);
covA = covA + eps.*eye(size(covA));
[~,pA] = chol(covA);
assert(pA==0,'A is not possitive definite')
dataB = rand(N,5);
covB = cov(dataB);
%covB = dataB*dataB'/(length(dataB)-1);
covB = covB + eps.*eye(size(covB));
[~,pB] = chol(covB);
assert(pB==0,'B is not possitive definite')
[V,D] = eig(covA, covB);
V =
   -0.4241   -1.0891    1.8175    2.4067   -1.3032
    1.4445   -1.8960   -1.4118   -0.6514   -2.0075
    0.1214   -2.5039    0.3332   -0.1705    2.3609
   -2.1235   -0.7007    1.1632   -2.1532   -1.0554
   -2.2599   -0.4405   -2.2236    1.2545    0.0760

蟒：

from scipy.linalg import eigh
import scipy.io
import numpy as np
cov_mat = scipy.io.loadmat('cov.mat')
covA = cov_mat['covA']
covB = cov_mat['covB']
eigvals, eigvecs = eigh(covA, covB, eigvals_only=False)
np.savetxt('eigvals.txt', eigvals, fmt='%.4f')
np.savetxt('eigvecs.txt', eigvecs, fmt='%.4f')
eigvecs =
   0.4241 1.0891 -1.8175 -2.4067 -1.3032
  -1.4445 1.8960  1.4118  0.6514 -2.0075
  -0.1214 2.5039 -0.3332  0.1705  2.3609
   2.1235 0.7007 -1.1632  2.1532 -1.0554
   2.2599 0.4405  2.2236 -1.2545  0.0760

Answer 1

它们是相同的特征向量，因为翻转特征向量上的符号不会改变它们的公式 - 它们将具有相同的特征值。因此，它不会影响进一步的计算。

为什么它们的计算方式不同？很可能是因为运行的子例程根据正在操作的矩阵而变化，并且不在乎它们返回什么"符号"，因为特征值没有特征值。

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一个微不足道的数学证明：

如果x是特征值为 q 的矩阵A的特征向量，那么根据定义，我们有这个Ax = qx。

因此，A(-x) = -(Ax) = -(qx) = q(-x)，-x是具有相同特征值的特征向量。