Constexpr行列式(二维std::数组)

Question

我需要编写一个constexpr函数，在编译时计算行列式。最明显的解决方案是使用拉普拉斯展开。支持C++14。

#include <array>
#include <utility>
constexpr int get_cofactor_coef(int i, int j) {
return (i + j) % 2 == 0 ? 1 : -1;
}
template <int N>
constexpr int determinant(const std::array<std::array<int, N>, N>& a) {
int det = 0;
for (size_t i = 0u; i < N; ++i) {
det += get_cofactor_coef(i, 1) * a[i][0] * determinant<N-1>(GET_SUBMATRIX_OF_A<N-1, I, J>(a);
}
return det;
}
template <>
constexpr int determinant<2>(const std::array<std::array<int, 2>, 2>& a) {
return a[0][0] * a[1][1] - a[0][1] * a[1][0];
}
template <>
constexpr int determinant<1>(const std::array<std::array<int, 1>, 1>& a) {
return a[0][0];
}

问题是，我完全不知道如何编写GET_SUBMATRIX_OF_A。

我知道我需要：

1. 生成序列(可能使用std::integer_sequence(
2. 从该序列中排除第i行
3. 复制除第一列(第0列(以外的所有列

我的constexpr技能几乎不存在。尝试将a传递给另一个函数会导致奇怪的错误，如错误："*&a不是常量表达式。

非常感谢所有的帮助！

Answer 1

问题是非conststd::array<T, N>::operator[](返回T&(直到C++17才是constexpr，因此很难设置次要元素。

然而，有一个转义符，即std::get<I>(std::array&)是constexpr，并且对结果执行指针运算是完全合法的，因此我们可以重写

a[i]  // constexpr since C++17

作为

(&std::get<0>(a))[i]  // constexpr in C++14!!

也就是说，我们使用std::get来获得对数组第一个成员的constexpr引用，获取指向它的指针，并在指针和索引上使用内置的[]运算符。

然后，一个两级数组成员访问a[i][j]变成了可怕的丑陋但仍然常量的(&std::get<0>((&std::get<0>(a))[i]))[j]，这意味着我们可以将get_submatrix_of_a写成一个普通的constexpr函数：

template<std::size_t N>
constexpr std::array<std::array<int, N - 1>, N - 1>
get_submatrix_of_a(const std::array<std::array<int, N>, N>& a, int i, int j) {
std::array<std::array<int, N - 1>, N - 1> r{};
for (int ii = 0; ii != N - 1; ++ii)
for (int jj = 0; jj != N - 1; ++jj)
(&std::get<0>(((&std::get<0>(r))[ii])))[jj] = a[ii + (ii >= i ? 1 : 0)][jj + (jj >= j ? 1 : 0)];
return r;
}

请记住，conststd::array<T, N>::operator[]在C++14中已经是constexpr，因此我们不需要重写次要构造的RHS。

Answer 2

下面是一个示例实现。也许可以做得更短或更优雅，但这只是一个起点。事实上，我刚刚意识到你的矩阵是正方形的，所以在下面的代码中删除一些模板参数是绝对可能的。

正如我在评论中提到的，对于C++17及更高版本，很可能根本不需要这些。

首先，让我们定义一些样板，让我们创建并索引一个值(即您想要跳过的行(的序列：

#include <utility>
// Based on https://stackoverflow.com/a/32223343.
template <size_t Offset, class T1, class T2>
struct offset_sequence_merger;
template <size_t Offset, size_t... I1, size_t... I2>
struct offset_sequence_merger<Offset, std::index_sequence<I1...>, std::index_sequence<I2...>>
: std::index_sequence<I1..., (Offset + I2)...>
{ };
template <std::size_t Excluded, std::size_t End>
using make_excluded_index_sequence = offset_sequence_merger<Excluded + 1,
std::make_index_sequence<Excluded>,
std::make_index_sequence<End - Excluded - 1>>;

现在让我们使用这个来提取子矩阵：

#include <array>
template <class T, std::size_t N, std::size_t... Indices>
constexpr std::array<T, sizeof...(Indices)> extract_columns (
std::array<T, N> const & source, std::index_sequence<Indices...>) {
return { source.at(Indices)... };
}
template <class T, std::size_t N>
constexpr std::array<T, N - 1> drop_first_column (
std::array<T, N> const & source) {
return extract_columns(source, make_excluded_index_sequence<0, N>());
}
template <class T, std::size_t Rows, std::size_t Cols, std::size_t... RowIndices>
constexpr auto create_sub_matrix (
std::array<std::array<T, Cols>, Rows> const & source,
std::index_sequence<RowIndices...>) 
-> std::array<std::array<T, Cols - 1>, sizeof...(RowIndices)> {
return { drop_first_column(source.at(RowIndices))... };
}
template <std::size_t ExcludedRow, class T, std::size_t Rows, std::size_t Cols>
constexpr auto create_sub_matrix (
std::array<std::array<T, Cols>, Rows> const & source)
-> std::array<std::array<T, Cols - 1>, Rows - 1> {
return create_sub_matrix(source,
make_excluded_index_sequence<ExcludedRow, Rows>());
}

最后，这里有一些代码表明上面的代码似乎做了它应该做的事情。你可以在Wandbox:上看到它的作用

#include <iostream>
#include <string>
template <class T>
void print_seq (std::integer_sequence<T> const & /* seq */) {
std::cout << 'n';
}
template <class T, T Head, T... Tail>
void print_seq (std::integer_sequence<T, Head, Tail...> const & /* seq */) {
std::cout << Head << ' ';
print_seq(std::integer_sequence<T, Tail...>{});
}
template <class T, std::size_t N>
void print_array (std::array<T, N> const & src) {
std::string sep = "";
for (auto const & e : src) {
std::cout << sep << e;
sep = " ";
}
std::cout << 'n';
}
template <class T, std::size_t N, std::size_t M>
void print_matrix (std::array<std::array<T, N>, M> const & src) {
for (auto const & row : src) { print_array(row); }
}
int main () {
auto indexSeqA = make_excluded_index_sequence<0, 3>(); print_seq(indexSeqA);
auto indexSeqB = make_excluded_index_sequence<1, 3>(); print_seq(indexSeqB);
auto indexSeqC = make_excluded_index_sequence<2, 3>(); print_seq(indexSeqC);
std::cout << 'n';
std::array<int, 3> arr = { 1, 7, 9 };
print_array(arr); std::cout << 'n';
std::array<std::array<int, 3>, 3> matrix = {{
{ 0, 1, 2 }
, { 3, 4, 5 }
, { 6, 7, 8 }
}};
print_matrix(matrix); std::cout << 'n';
print_matrix(create_sub_matrix<0>(matrix)); std::cout << 'n';
print_matrix(create_sub_matrix<1>(matrix)); std::cout << 'n';
}

希望这足以帮助您完全实现determinant函数。(附言：调用行列式时无需显式提供size_t模板参数，它将自动从其std:：array参数的大小推导出来(。