测试数字是否为素数的最快方法

Question

我正在尝试一种快速的方法来确定一个数字是否是Python的素数。

我有两个功能来做到这一点。两者都返回 True 或 False。

函数isPrime1非常快地返回False是一个数字不是素数。例如，一个大数字。但是对于大质数测试True的速度很慢。

函数 isPrime2 在为素数返回 True 时速度更快。但是，如果一个数字很大并且它不是素数，则返回值的时间太长。第一个函数效果更好。

我怎样才能想出一个解决方案，可以快速返回 False 对于非素数的大数，并且可以快速处理一个素数的大数？

def isPrime1(number): #Works well with big numbers that are not prime
    state = True
    if number <= 0:
        state = False
        return state
    else:          
        for i in range(2,number):
            if number % i == 0:
                state = False
                break
        return state
def isPrime2(number): #Works well with big numbers that are prime   
    d = 2
    while d*d <= number:
        while (number % d) == 0:            
            number //= d
        d += 1
    if number > 1:       
        return True
    else:
        return False`

Answer 1

穷举除法直到平方根大约是你能想到的最简单的。最坏的情况是素数，因为必须执行所有除法。无论如何，直到十亿，几乎没有可测量的时间（1000000007约为 1.2 毫秒）。

def FirstPrimeFactor(n):
    if n & 1 == 0:
        return 2
    d= 3
    while d * d <= n:
        if n % d == 0:
            return d
        d= d + 2
    return n

请注意，此版本返回最小除数而不是布尔值。

一些微优化是可能的（例如使用增量表），但我认为它们不会产生很大的收益。

有更复杂和更快的方法可用，但我不确定它们是否值得为这么小的n大惊小怪.

Answer 2

素数测试是一个非常棘手的话题。

在尝试加快代码速度之前，请尝试确保它按预期工作。我建议你从非常简单的算法开始，然后从那里开始构建。

有趣的是，isPrime2是有缺陷的。它为 6、10、12、... 返回 True

第

3 行到第 6 行非常有说服力

while d*d <= number:
    while (number % d) == 0:            
        number //= d
    d += 1

当找到 number d 的因子时，数字将更新为 number = number // d，在 while 循环结束时，如果数字> 1，则返回True

使用 number = 6 完成代码：

isPrime2(6)
initialise> number := 6
initialise> d := 2
line3> check (2 * 2 < 6)     :True
line4> check (6 % 2 == 0)    :True
line5> update (number := 6//2) -> number = 3
line6> update (d : d + 1) -> d = 3
jump to line3
line3> check (3 * 3 < 3)      :False -> GOTO line7
line7> check(number > 1) -> check(3 > 1) :True
line8> return True -> 6 is prime

Answer 3

这是我想到的

def is_prime(number):
    # if number is equal to or less than 1, return False
    if number <= 1:
        return False
    for x in range(2, number):
        # if number is divisble by x, return False
        if not number % x:
            return False
    return True