让@表示下面右侧定义的二进制布尔运算符： p @ q = (p ^ ¬q(
(b( 运算符 {@， ¬} 集是否完整？详细解释。
(c( 通过归纳法证明，单个命题变量p中仅使用布尔运算符 @(或根本不使用运算符(的任何命题公式都是等价的 到真值 False 或单个命题变量p。解释。
(b( 是的。
~(p @ q( =- ~(p & ~q( = ~p | q = p -> q. p @ ~q = p &
- ~~q = p & q. ~(~p @ q( = ~(~p & ~q( = ~~
- p | ~~q = p | q.
(c( 归纳证明可能如下所示：
基本情况：p 等价于 p，而 p @ p 是 False，因为 p & ~p 是一个矛盾。
归纳假设：假设所有长度以至k的命题只包含p和@，等价于p或False。
归纳步骤：每个只包含 p 和 @ 的命题都可以分解为形式为 ((x( @ (y(( 的公式，其中 x 和 y 是长度小于或等于 k 的公式。根据归纳假设，x 和 y 都等价于 p 或 False。有四种情况：
x = p， y =- p; 然后 x @ y = 假，根据需要; x = p， y =
- 假; 然后 x @ y = p，根据需要; x = 假， y =
- p： 然后 x @ y = 假， 根据需要; x = 假，y = 假
- ：则 x @ y = 假，根据需要。
在所有四种情况下，我们发现 ((x( @ (y(( 必须等价于 p 或 False。