将2D矢量旋转未知角度，使其方向矢量为[1,0]

Question

我正试图绕原点旋转矢量[x,y]，以便在旋转完成时位于X轴上。为了做到这一点，我首先计算[x,y]和[1,0]之间的角度，然后应用一个简单的2D旋转矩阵。我使用numericjs来处理向量。

math.angleBetween = function(A, B) {                                                                                               
    var x = numeric.dot(A, B) / (numeric.norm2(A) * numeric.norm2(B));                                                             
    if(Math.abs(x) <= 1) {                                                                                                         
        return Math.acos(x);                                                                                                       
    } else {                                                                                                                       
        throw "Bad input to angleBetween";                                                                                         
    }                                                                                                                              
};
math.alignToX = function(V) {
    var theta = -math.angleBetween([1,0], V);
    var R = [[Math.cos(theta), -Math.sin(theta)],
             [Math.sin(theta), Math.cos(theta)]];
    return numeric.dot(R, V);
};

（注意：math是我项目中的名称空间对象。Math是旧的数学对象。）

这段代码有时有效，但在某些情况下，无论我运行math.alignToX多少次，矢量都不会接近与X轴对齐。我通过检查y坐标是否小于1e-10来测试这一点。

我也尝试过使用隐式z坐标为0的Math.atan2，但结果是一样的。没有引发错误。一些示例结果：

math.alignToX([152.44444444444434, -55.1111111111111]) 
// result: [124.62691466033475, -103.65652585400568]
// expected: [?, 0]
math.alignToX([372, 40])
// result: [374.14435716712336, -2.0605739337042905e-13]
// expected: [?, 0]
// this value has abs(y coordinate) < 1e-10, so its considered aligned

我做错了什么？

Answer 1

如果您正在旋转向量以外的东西，那么您需要使用R矩阵。但是，如果您只需要旋转向量，结果将是[Math.sqrt(x*x+y*y),0]。

Answer 2

实际上，构建一个将已知二维向量与[1，0]对齐的旋转矩阵的任务根本不需要任何三角函数。

事实上，如果[xy]是你的向量，s是它的长度（s=Sqrt（x*x+y*y）），那么映射[x y]与[10]对齐的变换（纯旋转，无缩放）只是：

          [ x y]
T = 1/s^2 [-y x]

例如，假设向量为[Sqrt（3）/2，1/2]。这是一个单位向量，你可以很容易地检查，所以s=1。

    [Sqrt(3)/2     1/2   ]
T = [  -1/2     Sqrt(3)/2]

将T乘以我们的向量，我们得到：

    [Sqrt(3)/2     1/2   ][Sqrt(3)/2]   [1]
T = [  -1/2     Sqrt(3)/2][  1/2    ] = [0]

因此，在找到旋转角度（在这种情况下是Pi/6），然后创建旋转矩阵时，你已经回到了原点。[Sqrt（3）/2，1/2]的旋转角为Pi/2，cos（Pi/2）为Sqrt（2）/2=x，sin（Pi/2）为1/2=y。

换句话说，如果你知道向量，你就已经从正弦和余弦的定义中知道了它与x轴夹角的正弦和余弦：

cos a = x/s
sin a = y/s where s = || [x, y] ||, is the length of the vector.

Answer 3

我的问题非常明显，我不敢相信我没有看到它。当我检查Math.acos的域时，我根本没有检查范围！当矢量位于范围（即[0,PI]）之外时，就会出现问题。以下是我修复它的方法：

math.alignToX = function(V) {
    var theta = -math.angleBetween([1,0], V);
    var R = [[Math.cos(theta), -Math.sin(theta)],
             [Math.sin(theta), Math.cos(theta)]];
    var result = numeric.dot(R, V);
    if(Math.abs(result[1]) < ZERO_THRESHOLD) {
        return result;
    } else {
        V = numeric.dot([[-1, 0], [0, -1]], V); // rotate by PI
        theta = -math.angleBetween([1,0], V);
        R = [[Math.cos(theta), -Math.sin(theta)],
             [Math.sin(theta), Math.cos(theta)]];
        result = numeric.dot(R, V);
        if(Math.abs(result[1]) < ZERO_THRESHOLD) {
            return result;
        } else {
            throw "Unable to align " + V; // still don't trust it 100%
        }
    }
};

对于我上面给出的坏例子，这产生了：

[162.10041088743887, 2.842170943040401e-14]

该结果的Y坐标明显小于我的ZERO_THRESHOLD（1e-10）。我几乎为自己解决了这个问题而感到难过，但如果我没有在这里发帖，我想我不会这么快完成。当我检查我的帖子是否有错别字时，我发现了这个问题。