我正在寻找一个公式，该公式可以限定浮点乘法传播的错误。我已经看到了以下内容(但尚未证明(。
如果xa是具有束缚ux ulps 的x浮点近似值，并且类似地ya是具有绑定uy ulps 的y的浮点近似值，并且p是浮点精度，则正确舍入的乘积xa*ya上的边界为 ux + uy + ux*uy/(2^p) + 0.5 ulps。
我已经看到以下更简单的结果被证明。如果ya是具有绑定uy ulps 的y的近似值，则正确舍入的乘积x*ya上的边界为 uy + 0.5 ulps。
所以我想我正在寻找第一个结果的证明，或者至少确认它是正确的。
蒂亚
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在接受了Mark Dickinson在下面的评论中所说的话，并重读了Florian Loitsch的论文(上面的第二个公式来自哪里(，很明显，这个问题中的ulps是相对于潜在的非规范化结果而言的。例如，使用马克给出的示例并通过非IEEE方法计算乘以尾数并删除较低的53位(但必要时四舍五入(的乘积，我们得到
x = 0x1.8000000000000p-1
y = 0x1.4000000000000p+0
ya = 0x1.3fffffffffff6p+0
x*y = 0x0.f000000000000p+0 (denormalised)
x*ya - 0x0.ffffffffffff8p+8 (denormalised)
这是 8 ulp 的误差，并且在第二个公式的范围内。
如果你假设 ulps 是相对于近似值的(我相信另一种情况更困难，而且用处不大(，GNU MPFR 的 doc/algorithms.tex 文档有以下结果的证明，这里重写以遵循您的符号并简化为唯一的精度 p。
如果你有
- |xa − x| ≤ ux · ulp(xa(
- |ya− y| ≤ uy · ulp(ya(
则舍入到最接近的乘积的误差以 [(2 + 2 1−p((UX + uy( + 1/2] ·ulp( xa*ya ( 为界。
这通常比您给出的界限大，大约是 2 倍。但是，您需要确认您提供的绑定的有效性。一般来说，找到严格的误差边界是很困难的，因为当ulp在2的幂下变化一个因子2时，很容易失去因子2(摆动(，这可能是由于次优证明或在极端情况下真正的精度损失。