如何使用 PARI/GP 计算幂级数的倒数?

Question

我想用 PARI/GP 反转一个幂级数：
如果$y=a[1]*x+a[2]*x^2+...+O(x^N)$是由给定数组编码的，比如说a=vector(N-1)，我希望 PARI 产生向量 b，这样$x=b[1]*y+b[2]*y^2+...+O(y^N)$。
这可以使用贝尔多项式来完成。帕里手册有

Bell(k,n=-1)=
{
my(var(i)=eval(Str("X",i)));
my(x,v,dv);
v=vector(k,i,if(i==1,’E,var(i-1)));
dv=vector(k,i,if(i==1,’X*var(1)*’E,var(i)));
x=diffop(’E,v,dv,k)/’E;
if(n<0,subst(x,’X,1),polcoeff(x,n,’X))
}

生产例如

gp > Bell(3)
%3 = X1^3 + 3*X2*X1 + X3

但是我不知道如何使用它们，即在 Pari 的后续公式中将值归因于X1, X2, ...(事实上，我几乎不明白eval()和subst()在上面的公式中是如何工作的！对于知道的人来说，这应该是微不足道的...请帮忙！

Answer 1

PARI 具有执行幂级数回归的内置函数，因此无需进入低级实现，这肯定是非常次优和复杂的。

使用示例：

serreverse( x / (1 + x)^2 + O(x^20))

第二个示例(基于问题中给出的链接中的示例(

serreverse(atan(x + O(x^20)))
tan(x + O(x^20))

如果您的级数在向量v中，则首先将其转换为幂级数，然后调用serreverse。例如：

serreverse(Ser(v))

要稍后转换回矢量，请使用Vec函数。从幂级数转换为矢量时，PARI 会剥离任何前导零，这可能很烦人。为了防止这种情况，您通常以-n或-(n+1)的形式给出第二个参数，其中n是幂级数中的项数。