浮点运算是如何在一个大数字上加一的

Question

如果我们运行以下代码：

 #include <iostream>
 int main ()
 { 
     using namespace std;
     float a = 2.34E+22f;
     float b = a+1.0f;  
     cout<<"a="<<a<<endl;
     cout<<"b-a"<<b-a<<endl;
     return 0;
 }

那么结果将是0，因为浮点数只有6个有效数字。但浮点数1.0试图加到23位数字上。那个么，程序是如何实现数字1并没有位置的，算法是什么呢？

Answer 1

逐步：

IEEE-754 32位二进制浮点格式：

符号1位有效位23位指数8位

I） float a = 23400000000.f;

将23400000000.f转换为float:

23400000000=101 0111 0010 1011 1111 1010 0000 00002=1.01011100101011111110101010000000002•234。

但是有效位只能在该点之后存储23位。所以我们必须绕过：

1.01011100101011111110101 010000000002•234≈1.010111001010111111101012•234

因此，在之后

float a = 23400000000.f;

CCD_ 5等于23399991808。

II） float b = a + 1;

a=101011100101011111110101000000000002。b=10101011100101011111110101000000000012=1.01011100101011111110101000000000012•234。

但是，同样，有效位只能在该点之后存储23个二进制数字。所以我们必须绕过：

1.01011100101011111110101 000000000012•234≈1.010111001010111111101012•234

因此，在之后

float b = a + 1;

CCD_ 7等于23399991808。

III） float c = b - a;

101011100101011111110101000000000002

该值可以存储在float中，而无需取整。

因此，在之后

float c = b - a;

CCD_ 10等于0。

Answer 2

基本原理是将两个数字对齐，使小数点位于同一位置。我用一个10位数的数字来让它更容易阅读：

 a = 1.234E+10f;
 b = a+1.0f;

计算+1.0f时，小数点需要排列：

 1.234E+10f becomes 1234000000.0
 1.0f       becomes          1.0
            + 
            =       1234000001.0

但由于它是浮动的，右边的1在有效范围之外，所以存储的数字将是1.234000E+10——超过这个数字的任何数字都会丢失，因为数字不够。

[注意，如果你在优化编译器上这样做，它可能仍然会显示1.0，因为浮点单元使用64位或80位的内部表示，所以如果计算是在不将中间结果存储在变量中的情况下完成的（一个好的编译器肯定可以在这里实现这一点）对于2.34E+22f，可以保证不适合64位浮点，也可能不适合80位浮点。]。

Answer 3

当将两个FP数字相加时，它们首先转换为相同的指数。以十进制表示：2.34000E+22 + 1.00000E0 = 2.34000E22 + 0.000000E+22。在该步骤中，1.0会因舍入而丢失。

二进制浮点的工作原理基本相同，只是E+22被2^77取代。