我想将算法的输出与不同的预处理数据进行比较：NMF和PCA。 为了以某种方式获得可比较的结果，我想选择解释例如 95% 保留方差的量，而不是为每个 PCA 和 NMF 选择相同数量的分量。
我想知道是否有可能确定 NMF 的每个组件中保留的方差。
例如，使用 PCA，这将由下式给出：retainedVariance(i) = eigenvalue(i) / sum(eigenvalue)
有什么想法吗？
TL;博士
应遍历不同的n_components，并在每次迭代时估计解码X的explained_variance_score。这将显示您需要多少个分量来解释 95% 的方差。
现在我将解释原因。
PCA与NMF的关系
NMF和PCA与许多其他无监督学习算法一样，旨在做两件事：
-
将输入
X编码为压缩表示H; -
解码回
HX'，这应该尽可能接近X。
他们以某种类似的方式做到这一点：
- 在PCA和NMF中，解码是相似的：它们输出
X' = dot(H, W)，其中W是一个学习矩阵参数。 - 编码是不同的。在PCA中，它也是线性的：
H = dot(X, V)，其中V也是一个学习参数。在 NMF 中，H = argmin(loss(X, H, W))(仅针对H)，其中loss是X和dot(H, W)之间的均方误差，加上一些额外的惩罚。最小化是通过坐标下降执行的，结果在X中可能是非线性的。 - 培训也不同。PCA按顺序学习：第一个分量在没有约束的情况下最小化MSE，接下来的每个分量
k分量最小化残余MSE，但须与前一个分量正交。NMF 最大限度地减少了与编码时相同的loss(X, H, W)，但现在在H和W方面。
如何衡量降维的性能
如果要测量编码/解码算法的性能，可以执行常规步骤：
- 在
X_train上训练编码器+解码器 - 要测量样本内性能，请使用您的首选指标(例如 MAE、RMSE 或解释方差)将
X_train'=decode(encode(X_train))与X_train进行比较 - 要测量算法的样本外性能(泛化能力)，请使用看不见的
X_test执行步骤 2
。
让我们用PCA和NMF试试吧！
from sklearn import decomposition, datasets, model_selection, preprocessing, metrics
# use the well-known Iris dataset
X, _ = datasets.load_iris(return_X_y=True)
# split the dataset, to measure overfitting
X_train, X_test = model_selection.train_test_split(X, test_size=0.5, random_state=1)
# I scale the data in order to give equal importance to all its dimensions
# NMF does not allow negative input, so I don't center the data
scaler = preprocessing.StandardScaler(with_mean=False).fit(X_train)
X_train_sc = scaler.transform(X_train)
X_test_sc = scaler.transform(X_test)
# train the both decomposers
pca = decomposition.PCA(n_components=2).fit(X_train_sc)
nmf = decomposition.NMF(n_components=2).fit(X_train_sc)
print(sum(pca.explained_variance_ratio_))
它将打印您解释的方差比0.9536930834362043- PCA 的默认指标，使用其特征值估计。我们可以以更直接的方式衡量它 - 通过将指标应用于实际值和"预测"值：
def get_score(model, data, scorer=metrics.explained_variance_score):
""" Estimate performance of the model on the data """
prediction = model.inverse_transform(model.transform(data))
return scorer(data, prediction)
print('train set performance')
print(get_score(pca, X_train_sc))
print(get_score(nmf, X_train_sc))
print('test set performance')
print(get_score(pca, X_test_sc))
print(get_score(nmf, X_test_sc))
这给了
train set performance
0.9536930834362043 # same as before!
0.937291711378812
test set performance
0.9597828443047842
0.9590555069007827
您可以看到，在训练集上，PCA 的性能优于 NMF，但在测试集上，它们的性能几乎相同。发生这种情况是因为 NMF 应用了大量正则化：
H和W(学习的参数)必须是非负数H应尽可能小(L1 和 L2 处罚)W应尽可能小(L1 和 L2 处罚)
这些正则化使 NMF 对训练数据的拟合比可能的更差，但它们可能会提高其泛化能力，这在我们的例子中发生了。
如何选择组件数量
在PCA中，它很简单，因为它的组件h_1, h_2, ... h_k是按顺序学习的。如果添加新组件h_(k+1)，则第一个k不会更改。因此，您可以估计每个组件的性能，这些估计值不会根据组件的数量而定。这使得 PCA 可以在仅对数据进行一次拟合后输出explained_variance_ratio_数组。
NMF更复杂，因为它的所有组件都是同时训练的，每个组件都依赖于所有其他组件。因此，如果添加第k+1个分量，则前k分量将更改，并且您无法将每个特定分量与其解释的方差(或任何其他指标)匹配。
但是您可以做的是为每个分量数拟合一个新的NMF实例，并比较总解释方差：
ks = [1,2,3,4]
perfs_train = []
perfs_test = []
for k in ks:
nmf = decomposition.NMF(n_components=k).fit(X_train_sc)
perfs_train.append(get_score(nmf, X_train_sc))
perfs_test.append(get_score(nmf, X_test_sc))
print(perfs_train)
print(perfs_test)
这将给
[0.3236945680665101, 0.937291711378812, 0.995459457205891, 0.9974027602663655]
[0.26186701106012833, 0.9590555069007827, 0.9941424954209546, 0.9968456603914185]
因此，需要三个分量(通过训练集性能判断)或两个分量(通过测试集)来解释至少 95% 的方差。请注意，这种情况是不寻常的，是由少量的训练和测试数据引起的：通常在测试集上性能会下降一点，但在我的情况下，它实际上有所改善。