liftA2 能保持结合性吗?

Question

给定一个操作(??)使得

(a ?? b) ?? c = a ?? (b ?? c)

(也就是说(??)是联想的(

一定是这样吗

liftA2 (??) (liftA2 (??) a b) c = liftA2 (??) a (liftA2 (??) b c)

(也就是说liftA2 (??)是联想的(

如果我们愿意，我们可以将其重写为：

fmap (??) (fmap (??) a <*> b) <*> c = fmap (??) a <*> (fmap (??) b <*> c)

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我花了一会儿时间盯着适用法律，但我无法拿出证据证明情况会是这样。 所以我开始反驳它。 我尝试过的所有开箱即用的应用(Maybe、[]、Either等(都遵循法律，所以我想我会创建自己的。

我最好的主意是制作一个空洞的应用程序，并附上一条额外的信息。

data Vacuous a = Vac Alg

Alg是一些代数的地方，我会在以后自己方便的时候定义，以使属性失败，但应用定律成功。

现在我们这样定义我们的实例：

instance Functor Vacuous where
fmap f = id
instance Applicative Vacuous where
pure x = Vac i
liftA2 f (Vac a) (Vac b) = Vac (comb a b)
(Vac a) <*> (Vac b) = Vac (comb a b)

其中i是要确定的Alg的某些元素，comb是Alg也要确定的二进制组合器。 我们真的没有另一种方法可以定义这一点。

如果我们想满足等式定律，这迫使i成为comb的同一性。 然后我们免费获得同态和交换。 但是现在，组合迫使comb联想到Alg

((pure (.) <*> Vac u) <*> Vac v) <*> Vac w = Vac u <*> (Vac v <*> Vac w)
((Vac i <*> Vac u) <*> Vac v) <*> Vac w = Vac u <*> (Vac v <*> Vac w)
(Vac u <*> Vac v) <*> Vac w = Vac u <*> (Vac v <*> Vac w)
(Vac (comb u v)) <*> Vac w = Vac u <*> (Vac (comb v w))
Vac (comb (comb u v) w) = Vac (comb u (comb v w))
comb (comb u v) w = comb u (comb v w)

迫使我们满足物业。

有反例吗？ 如果不是，我们如何证明这个属性？

Answer 1

我们首先使用应用定律重写左侧。回想一下，<$>和<*>都是左结合的，因此我们有，例如，x <*> y <*> z = (x <*> y) <*> z和x <$> y <*> z = (x <$> y) <*> z。

(??) <$> ((??) <$> a <*> b) <*> c
= fmap/pure law
pure (??) <*> (pure (??) <*> a <*> b) <*> c
= composition law
pure (.) <*> pure (??) <*> (pure (??) <*> a) <*> b <*> c
= homomorphism law
pure ((.) (??)) <*> (pure (??) <*> a) <*> b <*> c
= composition law
pure (.) <*> pure ((.) (??)) <*> pure (??) <*> a <*> b <*> c
= homomorphism law
pure ((.) ((.) (??)) (??)) <*> a <*> b <*> c
= definition (.)
pure (x -> (.) (??) ((??) x)) <*> a <*> b <*> c
= definition (.), eta expansion
pure (x y z -> (??) ((??) x y) z) <*> a <*> b <*> c
= associativity (??)
pure (x y z -> x ?? y ?? z) <*> a <*> b <*> c

最后一种形式表明，本质上，原始表达式按该顺序"运行"a、b和c动作，以这种方式对它们的效果进行排序，然后使用(??)纯粹地组合这三个结果。

然后我们可以证明右手边等价于上述形式。

(??) <$> a <*> ((??) <$> b <*> c)
= fmap/pure law
pure (??) <*> a <*> (pure (??) <*> b <*> c)
= composition law
pure (.) <*> (pure (??) <*> a) <*> (pure (??) <*> b) <*> c
= composition law
pure (.) <*> pure (.) <*> pure (??) <*> a <*> (pure (??) <*> b) <*> c
= homomorphism law
pure ((.) (.) (??)) <*> a <*> (pure (??) <*> b) <*> c
= composition law
pure (.) <*> (pure ((.) (.) (??)) <*> a) <*> pure (??) <*> b <*> c
= composition law
pure (.) <*> pure (.) <*> pure ((.) (.) (??)) <*> a <*> pure (??) <*> b <*> c
= homomorphism law
pure ((.) (.) ((.) (.) (??))) <*> a <*> pure (??) <*> b <*> c
= interchange law
pure ($ (??)) <*> (pure ((.) (.) ((.) (.) (??))) <*> a) <*> b <*> c
= composition law
pure (.) <*> pure ($ (??)) <*> pure ((.) (.) ((.) (.) (??))) <*> a <*> b <*> c
= homomorphism law
pure ((.) ($ (??)) ((.) (.) ((.) (.) (??)))) <*> a <*> b <*> c

现在，我们只需要以更具可读性的点形式重写无点项((.) ($ (??)) ((.) (.) ((.) (.) (??))))，这样我们就可以使其等于我们在证明的前半部分得到的项。这只是根据需要应用(.)和($)的问题。

((.) ($ (??)) ((.) (.) ((.) (.) (??))))
= x -> (.) ($ (??)) ((.) (.) ((.) (.) (??))) x
= x -> ($ (??)) ((.) (.) ((.) (.) (??)) x)
= x -> (.) (.) ((.) (.) (??)) x (??)
= x y -> (.) ((.) (.) (??) x) (??) y
= x y -> (.) (.) (??) x ((??) y)
= x y z -> (.) ((??) x) ((??) y) z
= x y z -> (??) x ((??) y z)
= x y z -> x ?? y ?? z

在最后一步中，我们利用了(??)的结合性。

(呜。

Answer 2

它不仅保留了结合性，我想说这也许是应用法则背后的主要思想！

回想一下该类的数学风格形式：

class Functor f => Monoidal f where
funit ::    ()     -> f  ()
fzip :: (f a, f b) -> f (a,b)

有法律

zAssc:  fzip (fzip (x,y), z) ≅ fzip (x, fzip (y,z))  -- modulo tuple re-bracketing
fComm:  fzip (fmap fx x, fmap fy y) ≡ fmap (fx***fy) (fzip (x,y))
fIdnt:  fmap id ≡ id                    -- ─╮
fCmpo:  fmap f . fmap g ≡ fmap (f . g)  -- ─┴ functor laws

在这种方法中，liftA2因素将元组值函数映射到已经准备好的压缩对上：

liftZ2 :: ((a,b)->c) -> (f a,f b) -> f c
liftZ2 f = fmap f . fzip

即

liftZ2 f (a,b) = f <$> fzip (a,b)

现在说我们已经给了

g :: (G,G) -> G
gAssc:  g (g (α,β), γ) ≡ g (α, g (β,γ))

或无点(再次忽略元组括号交换(

gAssc:  g . (g***id) ≅ g . (id***g)

如果我们用这种风格写所有内容，很容易看出结合性保持基本上只是zAssc，关于g的所有事情都发生在一个单独的fmap步骤中：

liftZ2 g (liftZ2 g (a,b), c)
{-liftA2'-} ≡ g <$>fzip (g <$>fzip (a,b), c)
{-fIdnt,fComm-} ≡g . (g***id)<$>fzip (fzip (a,b), c)
{-gAssc,zAssc-} ≡ g . (id***g)<$>fzip (a, fzip (b,c))
{-fComm,fIdnt-} ≡ g <$>fzip (a, g <$>fzip (b,c))
{-liftA2'-} ≡ liftZ2 g (a, liftZ2 g (b,c))