量子力学中完备关系的表达式是-
Σ |ψ_n><ψ_n| = 1
其中密度矩阵在统计力学中的表达式是 -
ρ = Σ p_n |ψ_n><ψ_n|
这两个等式看起来相同。那么密度矩阵和完备关系有什么区别呢？
它们之间的基本区别是什么？
形式上的区别在于，对于密度矩阵，存在前置因子p_n其总和为 1，而不是像完备关系中那样全部为 1。
意思也大不相同。
以下是它们含义的粗略说明： 此对象是投影运算符：|ψ_n><ψ_n|它以n-th为基础向量进行投影。 为简单起见，让我们举一个简单的例子。假设我们的希尔伯特空间是三维的。然后总和从 1 到 3。每个所谓的纯状态都可以由三维空间中长度为 1 的向量表示，如以下示例：
|ψ_1> = (1, 0, 0)T
|ψ_2> = (0, 1, 0)T
|ψ_3> = (0, 0, 1)T
|φ> := (0, 1/2^0.5, 1/2^0.5)T
("T"代表转置( 这些投影运算符可以编写为矩阵，例如：
/ 0 0 0
|ψ_2><ψ_2| = | 0 1 0 |
0 0 0 /
现在，这些投影算子所做的是在其中一个坐标轴上投影一个矢量。 例如，对于 n=2，我们投影到y轴。
|ψ_2><ψ_2|φ> = (0, 1/2^0.5, 0)
现在，完备关系所说的是，在每个坐标轴上投影时得到的这 3 个向量的总和再次是原始向量(参见基分解(。 由于对于任何向量都是如此，这意味着操作是单位矩阵：
/ 1 0 0 + / 0 0 0 + / 0 0 0 / 1 0 0
|ψ_1><ψ_1| + |ψ_2><ψ_2| + |ψ_3><ψ_3| = | 0 0 0 | + | 0 1 0 | + | 0 0 0 | = | 0 1 0 | = 1
0 0 0 / + 0 0 0 / + 0 0 1 / 0 0 1 /
现在密度矩阵是完全不同的事情。权重p_n描述一个状态如何混合几个"纯"状态。例如 https://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix