当相关类型被 Idris 中的 lambda 抽象时，我如何证明"seemingly obvious"事实？

Question

我正在Idris中编写一个基本的一元解析器，以习惯语法和与Haskell的差异。我有工作很好的基础知识，但我坚持尝试为解析器创建verifiedsemiggroup和VerifiedMonoid实例。

话不多说，下面是解析器类型、semiggroup和Monoid实例，以及verifiedsemiggroup实例的开始。

data ParserM a          = Parser (String -> List (a, String))
parse                   : ParserM a -> String -> List (a, String)
parse (Parser p)        = p
instance Semigroup (ParserM a) where
    p <+> q             = Parser (s => parse p s ++ parse q s)
instance Monoid (ParserM a) where
    neutral             = Parser (const []) 
instance VerifiedSemigroup (ParserM a) where
    semigroupOpIsAssociative (Parser p) (Parser q) (Parser r) = ?whatGoesHere

我基本上被困在intros之后，具有以下证明者状态:

-Parser.whatGoesHere> intros
----------              Other goals:              ----------
{hole3},{hole2},{hole1},{hole0}
----------              Assumptions:              ----------
 a : Type
 p : String -> List (a, String)
 q : String -> List (a, String)
 r : String -> List (a, String)
----------                 Goal:                  ----------
{hole4} : Parser (s => p s ++ q s ++ r s) =
          Parser (s => (p s ++ q s) ++ r s)
-Parser.whatGoesHere> 

看起来我应该能够在某种程度上使用rewrite和appendAssociative，但我不知道如何"进入"lambda s。

无论如何，我被困在练习的定理证明部分-而且我似乎找不到太多以idris为中心的定理证明文档。我想也许我需要开始看Agda教程(尽管Idris是我确信我想学习的依赖类型语言!)。

Answer 1

简单的答案是你不能。在内涵类型理论中，关于函数的推理是相当尴尬的。例如，Martin-Löf的类型论无法证明:

S x + y = S (x + y)
0   + y = y
x +′ S y = S (x + y)
x +′ 0   = x
_+_ ≡ _+′_  -- ???

(据我所知，这是一个实际的定理，而不仅仅是"缺乏想象力的证明";然而，我找不到我阅读它的来源)。这也意味着没有证据证明更一般的:

ext : ∀ {A : Set} {B : A → Set}
        {f g : (x : A) → B x} →
        (∀ x → f x ≡ g x) → f ≡ g

这被称为函数可拓性:如果你能证明所有参数的结果是相等的(也就是说，函数在可拓性上是相等的)，那么函数也相等。

这将完美地解决您的问题:

<+>-assoc : {A : Set} (p q r : ParserM A) →
  (p <+> q) <+> r ≡ p <+> (q <+> r)
<+>-assoc (Parser p) (Parser q) (Parser r) =
  cong Parser (ext λ s → ++-assoc (p s) (q s) (r s))

，其中++-assoc是_++_的结合律的证明。我不确定它在战术上会是什么样子，但它将是相当相似的:为Parser应用一致性，目标应该是:

(s => p s ++ q s ++ r s) = (s => (p s ++ q s) ++ r s)

您可以应用可扩展性来获得假设s : String和目标:

p s ++ q s ++ r s = (p s ++ q s) ++ r s

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然而，正如我之前所说的，我们没有函数的延展性(注意，这对一般类型理论来说是不成立的:延展性类型理论，同伦类型理论和其他类型理论都能够证明这一点)。一个简单的选择是把它当作一个公理。与任何其他公理一样，您的风险是:

• 失去一致性(即能够证明错误;虽然我认为函数的可扩展性是OK的)

• 破缺约简(当给定此公理时，仅对refl进行案例分析的函数会做什么?)

我不确定Idris是如何处理公理的，所以我不会详细说明。只是要注意，如果你不小心的话，公理可能会把一些东西搞砸。

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最难的选择是使用setoids。setoid基本上是一种配备了自定义相等的类型。这个想法是，而不是有一个Monoid(或VerifiedSemigroup在你的情况下)，工作在内置的等式(=在Idris, ≡在Agda)，你有一个特殊的monooid(或半群)与不同的底层相等。这通常是通过将单群(半群)操作与等式和一堆证明打包在一起来完成的，即(在伪代码中):

=   : A → A → Set  -- equality
_*_ : A → A → A    -- associative binary operation
1   : A            -- neutral element
=-refl  : x = x
=-trans : x = y → y = z → x = z
=-sym   : x = y → y = x
*-cong : x = y → u = v → x * u = y * v  -- the operation respects
                                        -- our equality
*-assoc : x * (y * z) = (x * y) * z
1-left  : 1 * x = x
1-right : x * 1 = x

解析器的相等性选择是明确的:如果两个解析器的输出对所有可能的输入一致，则它们相等。

-- Parser equality
_≡p_ : {A : Set} (p q : ParserM A) → Set
Parser p ≡p Parser q = ∀ x → p x ≡ q x

这个解决方案有不同的权衡，即新的等式不能完全替代内置的等式(当您需要重写某些项时，往往会出现这种情况)。但如果你只是想显示你的代码做了它应该做的事情(直到一些自定义的相等)，这是很好的。