根号s15.16在Java中的定点数

Question

我想写一个函数来计算s15.16固定点数的平方根。我知道它是有符号的15位整数和16位小数。有没有办法在没有任何库的情况下做到这一点?其他语言也可以。

Answer 1

我认为你问这个问题是因为你所在的平台不提供浮点数，否则你可以通过浮点平方根实现15.16定点平方根，如下所示(这是C代码，我认为Java代码看起来非常相似):

int x, r;
r = (int)(sqrt (x / 65536.0) * 65536.0 + 0.5);

如果您的目标平台提供快速整数乘法(特别是，具有双宽结果的乘法或高乘法指令)，并且您可以为小表预留一些内存，那么使用Newton-Raphson迭代加上基于表的起始近似通常是一种方法。通常，一个近似于倒数的平方根因为它有一个更方便的NR迭代。得到rsqrt(x) = 1/sqrt(x)。通过将其与x 1相乘，然后得到平方根，即sqrt(x) = rsqrt(x) * x。下面的代码展示了如何以这种方式计算正确舍入的16.16定点平方根(因为平方根的参数必须是正的，这对于s15.16定点也同样有效)。舍入是通过最小化残差x - sqrt(x)*sqrt(x)来实现的。

我很抱歉平方根函数本身是32位x86内联汇编代码，但我最后一次需要这个大约10年前，这是我所有的。我希望你能从相当广泛的评论中提炼出相关操作。我包含了起始近似表的生成，以及详尽测试函数的测试框架。

#include <stdlib.h>
#include <math.h>
unsigned int tab[96];
__declspec(naked) unsigned int __stdcall fxsqrt (unsigned int x)
{
  __asm {
    mov    edx, [esp + 4]      ;// x
    mov    ecx, 31             ;// 31
    bsr    eax, edx            ;// bsr(x) 
    jz     $done               ;// if (!x) return x, avoid out-of-bounds access
    push   ebx                 ;// save per calling convention
    push   esi                 ;// save per calling convention
    sub    ecx, eax            ;// leading zeros = lz = 31 - bsr(x)
    // compute table index
    and    ecx, 0xfffffffe     ;// lz & 0xfffffffe
    shl    edx, cl             ;// z = x << (lz & 0xfffffffe)
    mov    esi, edx            ;// z
    mov    eax, edx            ;// z
    shr    edx, 25             ;// z >> 25
    // retrieve initial approximation from table
    mov    edx, [tab+4*edx-128];// r = tab[(z >> 25) - 32]
    // first Newton-Raphson iteration
    lea    ebx, [edx*2+edx]    ;// 3 * r
    mul    edx                 ;// f = (((unsigned __int64)z) * r) >> 32
    mov    eax, esi            ;// z
    shl    ebx, 22             ;// r = (3 * r) << 22
    sub    ebx, edx            ;// r = r - f
    // second Newton-Raphson iteration
    mul    ebx                 ;// prod = ((unsigned __int64)r) * z
    mov    eax, edx            ;// s = prod >> 32
    mul    ebx                 ;// prod = ((unsigned __int64)r) * s
    mov    eax, 0x30000000     ;// 0x30000000
    sub    eax, edx            ;// s = 0x30000000 - (prod >> 32)
    mul    ebx                 ;// prod = ((unsigned __int64)r) * s
    mov    eax, edx            ;// r = prod >> 32
    mul    esi                 ;// prod = ((unsigned __int64)r) * z;
    pop    esi                 ;// restore per calling convention
    pop    ebx                 ;// restore per calling convention
    mov    eax, [esp + 4]      ;// x
    shl    eax, 17             ;// x << 17
    // denormalize
    shr    ecx, 1              ;// lz >> 1
    shr    edx, 3              ;// r = (unsigned)(prod >> 32); r >> 3
    shr    edx, cl             ;// r = (r >> (lz >> 1)) >> 3
    // round to nearest; remainder can be negative
    lea    ecx, [edx+edx]      ;// 2*r
    imul   ecx, edx            ;// 2*r*r
    sub    eax, ecx            ;// rem = (x << 17) - (2*r*r))
    lea    ecx, [edx+edx+1]    ;// 2*r+1
    cmp    ecx, eax            ;// ((int)(2*r+1)) < rem))
    lea    ecx, [edx+1]        ;// r++
    cmovl  edx, ecx            ;// if (((int)(2*r+1)) < rem) r++
  $done:
    mov    eax, edx            ;// result in EAX per calling convention
    ret    4                   ;// pop function argument and return
  }
}
int main (void)
{
  unsigned int i, r;
  // build table of reciprocal square roots and their (rounded) cubes
  for (i = 0; i < 96; i++) {
    r = (unsigned int)(sqrt (1.0 / (1.0 + (i + 0.5) / 32.0)) * 256.0 + 0.5);
    tab[i] = ((r * r * r + 4) & 0x00ffffff8) * 256 + r;
  }
  // exhaustive test of 16.16 fixed-point square root
  i = 0;
  do {
    r = (unsigned int)(sqrt (i / 65536.0) * 65536.0 + 0.5);
    if (r != fxsqrt (i)) {
      printf ("error @ %08x: ref = %08x  res=%08xn", i, r, fxsqrt (i));
      break;
    }
    i++;
  } while (i);
}

Answer 2

使用您最喜欢的整数平方根算法，简单观察√(2^-16a) = 2^-8√a。