通过与矩阵相乘的稳定性

Question

我想知道如何证明（或反驳）这一点

• 如果 $A$ 是矩阵$n \times n$ 和
• $b_1....b_k$ are $k$ vectors in $\mathbb{R}^{n}$
• 所以 $Ab_1， ...， Ab_{k}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的一组生成器

那么向量族 $b_{1},...,b_{k}$ 也是如此。

谢谢。

Answer 1

本质上，这个问题是在问 rank（A*B）=n 是否意味着 rank（B）=n。这是

rank（A*B） <= min（ rank（A）， rank（B） ）

以及由于所涉及的空间的维度原因，rank（A） <= n 和 rank（B） <= min（k， n），因此组合链

n = rank（A*B） <= min（ rank（

A）， rank（B） ） <= min（k， n）

留下的回旋余地不多。

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作为问题，这个答案是SO的题外话，属于 math.SE。