最小产品生成树与最小生成树不同吗？请解释（如果可能，请举例说明）。我的意思是，添加到最小值的边缘也应该（？）具有最小乘积。
对于所有边缘权重（正、负和零）：
它们可能不一样。
举个例子：
-10
□______□
/
1 | | 0
/
□
在这里，我们有：
Minimum product spanning tree: Minimum sum spanning tree:
-10 -10
□______□ □______□
/
1 | | 0
/
□ □
对于非零边权重（正和负）：
它们可能不一样。
偶数个负值的乘积会产生正值，因此在这种情况下，最好为最小积生成树选择一个正值。
举个例子：
-5
□______□
/
5 | | -5
/
□
在这里，我们有：
Minimum product spanning tree: Minimum sum spanning tree:
-5 -5
□______□ □______□
/
5 | | -5
/
□ □
选择较高的正值，而不是较小的负值，只要我们最终得到奇数个负值。
对于非负边权重（正和零）：
可能有多个最小产品生成树，其中一些可能不是最小生成树的总和（我还没有找到证明/反例，但目前看起来至少有一个最小产品生成树将具有最小总和）。
举个例子：
0
□______□
/
1 | | 10
/
□
这里，10-0 和 1-0 都是最小积生成树，但只有 1-0 是最小生成树。
仅使用正边权重和不同的边权重：
它们将是一样的。
证明：
考虑在树的其余部分a和b之间挑选c的总和。
假设 a，b，c> 0...
Assume ca < cb
then a < b (since c > 0)
then a + c < b + c
因此，如果拣选a导致最小的产品，它也将导致最小的总和。
因此，获得最小的产品和最小的总和将包括拾取所有相同的边缘。
因此，它们将具有相同的生成树。
仅使用正边权重和非明显边权重：
上面假设了不同的边权重，如果不是这种情况，则任何一个都可能有多个生成树，它们显然不一定相同，但是两者的生成树选择将是相同的，因为它们都具有相同的乘积和相同的总和，因为唯一的区别是在具有相同权重的 2 条边之间进行拾取。
考虑：
10
□______□
/
5 | | 5
/
□
两个可能的生成树是：
10 10
□______□ □______□
/
5 | | 5
/
□ □
两者都是最小乘积和生成树（唯一的区别是我们选择哪 5，但 5 = 5，因此它不会改变总和或乘积）。
如果所有边权重都是严格正的，那么它们将是同一棵树。 看到这一点的一种简单方法是检查 MST 算法，并注意 不做任何实际的加法，它们只在每一步中从某个集合中挑选最小边。
如果边权重严格为正，则权重Wi的最小积生成树将与权重log(Wi)的最小和生成树相同，并且由于log函数是单调的，因此任何 MST 算法对权重log(Wi)的行为都将与权重Wi的行为相同。
一个更数学的证明是注意（假设所有边权重都是不同的），图形的 MST 将包含穿过图形每个切割的最小成本边缘。 很明显，MST在边权重的单调变换下是不变的。