生成与特定方向正交的两个正交矢量

Question

numpy中生成两个正交向量a和b的最简单、最有效的方法是什么，使这两个向量的叉积等于另一个已知的单位向量k？

我知道有无限多这样的对，只要满足axb=k和a.b=0的条件，我得到哪对对并不重要。

Answer 1

Gram-Schmidt程序正是这样做的。例如：

>>> k  # an arbitrary unit vector k is not array. k is must be numpy class. np.array
np.array([ 0.59500984,  0.09655469, -0.79789754])

获得第一个：

>>> x = np.random.randn(3)  # take a random vector
>>> x -= x.dot(k) * k       # make it orthogonal to k
>>> x /= np.linalg.norm(x)  # normalize it

获得第二个：

>>> y = np.cross(k, x)      # cross product with k

并验证：

>>> np.linalg.norm(x), np.linalg.norm(y)
(1.0, 1.0)
>>> np.cross(x, y)          # same as k
array([ 0.59500984,  0.09655469, -0.79789754])
>>> np.dot(x, y)            # and they are orthogonal
-1.3877787807814457e-17
>>> np.dot(x, k)
-1.1102230246251565e-16
>>> np.dot(y, k)
0.0

Answer 2

很抱歉，由于缺乏声誉，我不能将其作为评论。

关于@behzad.nouri的答案，请注意，如果k不是单位向量，则代码将不再给出正交向量！

正确和通用的方法是减去随机向量的纵向部分。这方面的一般公式是此处

所以你只需要在原始代码中替换它：

>>> x -= x.dot(k) * k / np.linalg.norm(k)**2

Answer 3

假设支持正交基的向量是u.

b1 = np.cross(u, [1, 0, 0])   # [1, 0, 0] can be replaced by other vectors, just get a vector orthogonal to u
b2 = np.cross(u, b1)
b1, b2 = b1 / np.linalg.norm(b1), b2 / np.linalg.norm(b2)

如果你愿意的话，一个简短的答案。

获取转换矩阵

B = np.array([b1, b2])
TransB = np.dot(B.T, B)
u2b = TransB.dot(u) # should be like [0, 0, 0]